Đặt ab = x, bc = y, ca = z     (x, y, z ≠ 0 thỏa mãn x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz)

⇔ (x+y)^3 − 3xy(x + y) + z^3 = 3xyz <=> (x+y)^3 − 3xy(x + y) + z^3 = 3xyz

⇔ (x + y)^3 + z^3 − 3xy(x + y+ z) = 0 ⇔ (x + y)^3 + z^3 − 3xy(x + y + z) = 0

⇔ (x + y + z)[(x + y)^2 − z (x + y) + z^2] − 3xy(x + y + z) = 0 ⇔ (x + y + z)[(x + y)^2 − z(x + y) + z2] − 3xy(x + y + z) = 0

⇔ (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 − xy − yz − xz) = 0 ⇔ (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 − xy − yz − xz) = 0

<=> x + y + z = 0   (1)        và           x^2 + y^2 + z^2 − xy − yz − xz = 0   (2)

Với (1): ⇔ ab + bc + ac = 0 ⇔ ab + bc + ac = 0

P = (1 + a/b)(1 + b/c)(1 + c/a) = (a + b)(b + c)(c + a)/abc=(ab + bc + ac)(a + b + c) − abc/abc = 0 − abc/abc = −1

Với (2) ⇔ (x − y)^2 + (y − z)^2 + (z − x)^2/2 = 0

⇔ (x − y)^2 + (y − z)^2 + (z − x)^2 = 0 

Ta thấy (x − y)^2; (y − z)^2; (z − x)^2 ≥ 0 ∀x, y, z nên để tổng của chúng bằng 0 thì:

(x − y)^2 = (y − z)^2 = (z − x)^2 = 0 ⇒ x = y = z

⇔ ab = bc = ac ⇔ a=b=c (do a, b, c ≠ 0)

⇒ A = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8 

Vậy...........

Lời giải:

Đặt 

Khi đó, điều kiện đb tương đương với:

Do đó ta có đpcm

Lời giải:

Đặt 

Khi đó, điều kiện đb tương đương với:

Do đó ta có đpcm

Hình như đề sai ,  giả sử a = b = c = 0

=> vế trái bằng 0 , vé phải bằng 24

\(\left(3a+b-c\right)^3+\left(3b+c-a\right)^3+\left(3c+a-b\right)^3+24\)
\(=24+27a^3+27b^3+27c^3+3\left(\left(3a+b\right)\left(3a-c\right)\left(b-c\right)+\left(3b+c\right)\left(3b-a\right)\left(c-a\right)+\left(3c+a\right)\left(3c-b\right)\left(a-b\right)\right)\)\(\left(3a+3b+3c\right)^3=27a^3+27b^3+27c^3+81\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(\Rightarrow8+A=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

Có lẻ như đề sai ,

 giả sử a = b = c = 0

=> vế trái bằng 0 ,

vế phải bằng 24

Câu hỏi của Hoàng Đức Thịnh - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

a, Đặt \(\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{5}=k\)\(\Rightarrow a=2k\); \(b=3k\); \(c=5k\)

Ta có: \(B=\frac{a+7b-2c}{3a+2b-c}=\frac{2k+7.3k-2.5k}{3.2k+2.3k-5k}=\frac{2k+21k-10k}{6k+6k-5k}=\frac{13k}{7k}=\frac{13}{7}\)

b, Ta có: \(\frac{1}{2a-1}=\frac{2}{3b-1}=\frac{3}{4c-1}\)\(\Rightarrow\frac{2a-1}{1}=\frac{3b-1}{2}=\frac{4c-1}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{2\left(a-\frac{1}{2}\right)}{1}=\frac{3\left(b-\frac{1}{3}\right)}{2}=\frac{4\left(c-\frac{1}{4}\right)}{3}\) \(\Rightarrow\frac{2\left(a-\frac{1}{2}\right)}{12}=\frac{3\left(b-\frac{1}{3}\right)}{2.12}=\frac{4\left(c-\frac{1}{4}\right)}{3.12}\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a-\frac{1}{2}\right)}{6}=\frac{\left(b-\frac{1}{3}\right)}{8}=\frac{\left(c-\frac{1}{4}\right)}{9}\)\(\Rightarrow\frac{3\left(a-\frac{1}{2}\right)}{18}=\frac{2\left(b-\frac{1}{3}\right)}{16}=\frac{\left(c-\frac{1}{4}\right)}{9}\)

\(\Rightarrow\frac{3a-\frac{3}{2}}{18}=\frac{2b-\frac{2}{3}}{16}=\frac{c-\frac{1}{4}}{9}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{3a-\frac{3}{2}}{18}=\frac{2b-\frac{2}{3}}{16}=\frac{c-\frac{1}{4}}{9}=\frac{3a-\frac{3}{2}+2b-\frac{2}{3}-\left(c-\frac{1}{4}\right)}{18+16-9}=\frac{3a-\frac{3}{2}+2b-\frac{2}{3}-c+\frac{1}{4}}{25}\)

\(=\frac{\left(3a+2b-c\right)-\left(\frac{3}{2}+\frac{2}{3}-\frac{1}{4}\right)}{25}=\left(4-\frac{23}{12}\right)\div25=\frac{25}{12}\times\frac{1}{25}=\frac{1}{12}\)

Do đó:  +)  \(\frac{a-\frac{1}{2}}{6}=\frac{1}{12}\)\(\Rightarrow a-\frac{1}{2}=\frac{6}{12}\)\(\Rightarrow a=1\)

+) \(\frac{b-\frac{1}{3}}{8}=\frac{1}{12}\)\(\Rightarrow b-\frac{1}{3}=\frac{8}{12}\)\(\Rightarrow b=1\)

+) \(\frac{c-\frac{1}{4}}{9}=\frac{1}{12}\)\(\Rightarrow c-\frac{1}{4}=\frac{9}{12}\)\(\Rightarrow c=1\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}3a+b-c=x\\3b+c-a=y\\3c+a-b=z\end{cases}}\)

Khi đó điều kiện đb tương ứng

\(\left(x+y+z\right)^3=24+x^3+y^3+z^3\)

\(\Leftrightarrow3.\left(x+y\right).\left(x+z\right).\left(x+z\right)=24\)

\(\Rightarrow3.\left(2a+4b\right).\left(2b+4c\right).\left(2c+4a\right)=24\)

\(\Rightarrow\left(a+2b\right).\left(b+2c\right).\left(c+2a\right)=1\)

Do đó ta có đpcm

Chúc bạn học tốt!