\(x^4+\left(x-1\right)\left(x^2-2\left(x-1\right)\right)=0\)

<=> \(x^4+\left(x-1\right)\left(x^2-2x+2\right)=0\)

<=> \(x^4+x^3-2x^2+2x-x^2+2x-2=0\)

<=> \(x^4+x^3-3x^2+4x-2=0\)

<=> \(x^4+2x^3-2x^2-x^3-2x^2+2x+x^2+2x-2=0\)

<=> \(x^2\left(x^2+2x-2\right)-x\left(x^2+2x-2\right)+\left(x^2+2x-2\right)=0\)

<=> \(\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+2x-2\right)=0\)

Hoàn toàn CM đc x²-x+1>0 vs mọi x

=> \(x^2+2x-2=0\) <=> \(\left(x+1\right)^2=3\) <=> \(\left[{}\begin{matrix}x=\sqrt{3}-1\\x=-\sqrt{3}-1\end{matrix}\right.\)(ktm)

Vậy pt vô nghiệm

\(\text{Σ}\frac{x^2}{\sqrt[3]{x^3+8}}=\text{Σ}\frac{x^2}{\sqrt[3]{\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)}}\ge\text{Σ}\frac{x^2}{\frac{x+2+x^2-2x+4}{2}}=\text{2}\left(Σ\frac{x^2}{x^2-x+6}\right)\)
Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz:
\(VT\ge2\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-x-y-z+18}\)
Áp dụng BDT: \(9=3\left(xy+yz+xz\right)\le\left(x+y+z\right)^2\Rightarrow x+y+z\ge3\)

\(\Rightarrow VT\ge2\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-3+18}=2\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+15}=2\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+3\left(xy+yz+xz\right)}\)
\(\ge2\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)^2}=1\)

Dấu = xảy ra khi x=y=z=1
 

Bạn vào link tham khảo :

https://hoidap247.com/cau-hoi/1226651

# Hok tốt !

\(x+y=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}1-x=y\\1-y=x\end{cases}}\)

thay vào A ta được : \(A=\frac{1-y}{\sqrt{y}}+\frac{1-x}{\sqrt{x}}\)

\(\Rightarrow A=\frac{1}{\sqrt{y}}-\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}\)

\(\Rightarrow A=\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\right)-\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)

áp dụng \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ta có : \(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\ge\frac{4}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\)

áp dụng \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\) ta có : \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\le2\left(\sqrt{x}^2+\sqrt{y}^2\right)=2\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow A\ge\sqrt{8}-\sqrt{2}=\sqrt{2}\)

dấu = xảy ra khi a=y=1/2

Bài 3:

Có:\(6=\frac{\left(\sqrt{2}\right)^2}{x}+\frac{\left(\sqrt{3}\right)^2}{y}\ge\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2}{x+y}\Rightarrow x+y\ge\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\)

True?

khó quá đây là toán lớp mấy

Bài 2: Thực sự không chắc lắm về cách này

\(y=\frac{x^2}{x^2-5x+7}\Rightarrow x^2\left(y-1\right)-5yx+7y=0\)

Coi pt trên là pt bậc 2 ẩn x, dùng điều kiện có nghiệm của pt bậc 2 ta có \(\Delta=25y^2-28y\left(y-1\right)=28y-3y^2\ge0\Leftrightarrow28y\ge3y^2\)

Xét y âm, chia 2 vế của bất đẳng thức cho y âm ta được \(y\ge\frac{28}{3}\)không thỏa

Xét y dương ta thu được \(y\le\frac{28}{3}\), cái này thì em không không biết có nghiệm x không nhờ mọi người kiểm tra dùm

Vậy Maxy=28/3 còn Miny=0 (cái min thì dễ hà )

Có: \(xy+\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}=\sqrt{2019}\)

\(\Leftrightarrow\left[xy+\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\right]^2=2019\)

\(\Leftrightarrow x^2y^2+\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)+2xy\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}=2019\)

\(\Leftrightarrow x^2y^2+x^2y^2+x^2+y^2+1+2xy\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}=2019\)

\(\Leftrightarrow y^2\left(1+x^2\right)+x^2\left(1+y^2\right)+1+2xy\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}=2019\)

\(\Leftrightarrow\left[y\left(1+x^2\right)+x\left(1+y^2\right)\right]^2=2018\)

\(\Leftrightarrow y\left(1+x^2\right)+x\left(1+y^2\right)=\sqrt{2018}\)

hay \(A=\sqrt{2018}\)