bài này thật ra không khó chỉ cần tách đúng là được à bạn thử ngồi tách xem đi 

rồi được rồi nhưng hơi dài nên mình sẽ viết 2 lần nhé

do a;b;c;d bình đẳng với nhau nên ta đặt \(a\ge b\ge c\ge d>0\).Ta có:

Đặt cả cái bài là A => \(A\ge\frac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)+\left(b-c\right)\left(b-d\right)+\left(c-d\right)\left(c-a\right)+\left(a-d\right)\left(b-d\right)}{3a}\)

đặt cái trên nhé là B => \(B=\frac{a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd}{3a}\)

mà \(a^2+b^2+c^2+d^2\ge2ac+2bd\)=> \(a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd\ge0\)=> \(B\ge0\)=>\(A\ge B\ge0\)

Vậy đó là điều phải chứng minh

b, \(\frac{a+b}{a+b+c}>\frac{a+b}{a+b+c+d}\); \(\frac{b+c}{b+c+a}>\frac{b+c}{a+b+c+d}\)

 \(\frac{c+d}{c+d+a}>\frac{c+d}{a+b+c+d};\frac{d+a}{a+d+b}>\frac{a+d}{a+b+c+d}\)

Cộng các bĐT trên

=> \(B>\frac{2\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=2\)

Ta  có Với \(0< \frac{x}{y}< 1\)

=> \(\frac{x}{y}< \frac{x+z}{y+z}\)

Áp dụng ta có 

\(B>\frac{a+b+d}{a+b+c+d}+...+\frac{d+a+c}{a+b+c+d}=3\)

Vậy 2<B<3

\(\frac{b+c+d}{\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(d-a\right)\left(x-a\right)}=\frac{\left(a+b+c+d-x\right)+\left(x-a\right)}{\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(d-a\right)\left(x-a\right)}\)\(=\frac{\left(a+b+c+d-x\right)}{\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(d-a\right)\left(x-a\right)}+\frac{1}{\left(b-a\right)\left(c-a\right)\left(d-a\right)}\)

Áp dụng hoán vị vòng \(b\rightarrow c\rightarrow d\rightarrow a\rightarrow b\) vào VT , ta được :

\(\left(a+b+c+d-x\right)\)[\(\frac{1}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(a-d\right)\left(a-x\right)}+\frac{1}{\left(b-a\right)\left(b-c\right)\left(b-d\right)\left(b-x\right)}+\frac{1}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)\left(c-d\right)\left(c-x\right)}\)\(+\frac{1}{\left(d-a\right)\left(d-b\right)\left(d-c\right)\left(d-x\right)}\).

Quy đồng mẫu thức và tính toán biểu thức trong [ ] ta được :

\(\frac{-1}{\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)\left(x-d\right)}\)

Vậy ...............

Ta có với a,b,c,d là các số thực khác 0 

\(\Rightarrow\frac{a-b+c+d}{b}=\frac{a+b-c+d}{c}=\frac{a+b+c-d}{d}=\frac{b+c+d-a}{a}\)

\(\Rightarrow\frac{a-b+c+d}{b}+1=\frac{a+b-c+d}{c}+1=\frac{a+b+c-d}{d}+1=\frac{b+c+d-a}{a}+1\)

\(\Rightarrow\frac{a+c+d}{b}=\frac{a+b+d}{c}=\frac{a+b+c}{d}=\frac{b+c+d}{a}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 

\(\Rightarrow\frac{a+c+d}{b}=\frac{a+b+d}{c}=\frac{a+b+c}{d}=\frac{b+c+d}{a}=\frac{3\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=3\)

Ta có M= \(\left(\frac{a+c+d}{b}\right)\left(\frac{a+b+d}{c}\right)\left(\frac{a+b+c}{d}\right)\left(\frac{b+c+d}{a}\right)\)

=> M= 3.3.3.3 

=> M =81

Áp dụng TC cuae DTSBN ta có:

a-b+c+d/b = a+b-c+d/c = a+b+c-d/d = b+c+d-a/a = \(\frac{a-b+c+d+a+b-c+d+a+b+c-d+b+c+d-a}{b+c+d+a}=\frac{3\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=3\)

=> a-b+c+d/b = 3 => a-b+c+d = 3b => a+c+d = 4b

a+b-c+d/c = 3 => a+b-c+d = 3c => a+b+d = 4c

a+b+c-d/d = 3 => a+b+c-d = 3d => a+b+c = 4d

b+c+d-a/a = 3 => b+c+d-a = 3a => b+c+d = 4a

=> M = \(\frac{\left(a+b+c\right)\left(a+b+d\right)\left(b+c+d\right)\left(c+d+a\right)}{abcd}=\frac{4d.4c.4a.4b}{abcd}=\frac{256abcd}{abcd}=256\)

Vậy M = 256

Theo đề ra, ta có: 

\(\frac{a+c+d}{b}-1=\frac{a+b+d}{c}-1=\frac{a+b+c}{d}-1=\frac{b+c+d}{a}-1\)

\(\rightarrow\frac{a+c+d}{b}=\frac{a+b+d}{c}=\frac{a+b+c}{d}=\frac{b+c+d}{a}=\frac{3\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=3\)

(Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau)

Ta có:

\(M=\frac{\left(a+b+c\right)\left(a+b+d\right)\left(b+c+d\right)\left(c+d+a\right)}{abcd}=3^4=81\)

Ta có:\(\frac{3a+b+c+d}{a}=\frac{a+3b+c+d}{b}=\frac{a+b+3c+d}{c}=\frac{a+b+c+3d}{d}\)

\(\Rightarrow\frac{a+b+c+d}{a}=\frac{a+b+c+d}{b}=\frac{a+b+c+d}{c}=\frac{a+b+c+d}{d}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c+d=0\\a=b=c=d\end{cases}}\)

\(TH1:a+b+c+d=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=-\left(c+d\right)\\b+c=-\left(a+d\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow Q=\left(\frac{-\left(c+d\right)}{c+d}\right)^2+\left(\frac{-\left(a+d\right)}{a+d}\right)^2+\left(\frac{c+d}{-\left(c+d\right)}\right)^2+\left(\frac{a+d}{-\left(a+d\right)}\right)^2\)

\(\Rightarrow Q=\left(-1\right)^2\cdot4=1\cdot4=4\)

\(TH2:a=b=c=d\)

\(\Rightarrow Q=\left(\frac{a+a}{a+a}\right)^2+\left(\frac{a+a}{a+a}\right)^2+\left(\frac{a+a}{a+a}\right)^2+\left(\frac{a+a}{a+a}\right)^2=1^2\cdot4=1\cdot4=4\)

Vậy Q=4