Đáp án C

Ta có

Lại có

\(1+x+y=\sqrt{x}+\sqrt{xy}+\sqrt{y}\)

\(\Leftrightarrow2\left(1+x+y\right)=2\left(\sqrt{x}+\sqrt{xy}+\sqrt{y}\right)\) 

\(\Leftrightarrow2+2x+2y=2\sqrt{x}+2\sqrt{xy}+2\sqrt{y}\)

\(\Leftrightarrow2x+2y+2-2\sqrt{x}-2\sqrt{xy}-2\sqrt{y}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)+\left(x-2\sqrt{x}+1\right)+\left(y-2\sqrt{y}+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y}-1\right)^2=0\)  

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}=\sqrt{y}\\\sqrt{x}=1\\\sqrt{y}=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow x=y=1\)

\(\Rightarrow S=x^{2013}+y^{2013}=1+1=2\)

Đáp án B

Ta có:

log x + 2 y = log x + log y ⇔ log 2 x + 2 y = log 2 x y ⇔ 2 x + 2 y = 2 x y      * .

Đặt a = x > 0 b = 2 y > 0 , khi đó * ⇔ 2 a + b = a b và  P = a 2 1 + b + b 2 1 + a ≥ a + b 2 a + b + 2 .

Lại có a b ≤ a + b 2 4 ⇒ 2 a + b ≤ a + b 2 4 ⇔ a + b ≥ 8.

Đặt t = a + b , do đó  P ≥ f t = t 2 t + 2

Xét hàm số f t = t 2 t + 2 trên 8 ; + ∞ , có  f ' t = t 2 + 2 t t + 2 2 > 0 ; ∀ t ≥ 8

Suy ra f t là hàm số đồng biến trên  8 ; + ∞ → min 8 ; + ∞ f t = f 8 = 32 5 .

Vậy gía trị nhỏ nhất của biểu thức P là  32 5 .

Đáp án D

Ta có

y = 10 1 1 − log x z = 10 1 1 − log y ⇔ log y = 1 1 − log x log z = 1 1 − log y ⇔ log y = 1 1 − log z log y = 1 1 − log x ⇒ 1 − 1 1 − log z = 1 1 − log x ⇔ log z − 1 log z = 1 1 − log x ⇔ 1 − log x = log z log z − 1 ⇔ log x = − 1 log z − 1 ⇔ x = 10 1 1 − log z

Chọn D