a) \(6xy+4x-9y-7=0\)

  \(\Leftrightarrow2x.\left(3y+2\right)-9y-6-1=0\)

\(\Leftrightarrow2x.\left(3y+x\right)-3.\left(3y+2\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-3\right).\left(3y+2\right)=1\)

Mà \(x,y\in Z\Rightarrow2x-3;3y+2\in Z\)

Tự làm típ

\(A=x^3+y^3+xy\)

\(A=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+xy\)

\(A=x^2-xy+y^2+xy\)( vì \(x+y=1\))

\(A=x^2+y^2\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovxky ta có :

\(\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x\cdot1+y\cdot1\right)^2=\left(x+y\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge1\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\)

Hay \(x^3+y^3+xy\ge\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

LOADING...

Xét \(x=0\Rightarrow y=0\), \(x=1\Rightarrow y^3=2\), vô lí. \(x=2\Rightarrow y=2\).

Với \(x\ge3\), ta viết lại pt đã cho như sau:

\(y^3=3^x-1\). 

Ta thấy \(y\equiv2\left[3\right]\) \(\Rightarrow y=3z-1\left(z\inℕ^∗\right)\)

\(\Rightarrow\left(3z-1\right)^3=3^x-1\) 

\(\Leftrightarrow27z^3-27z^2+9z-1=3^x-1\)

\(\Leftrightarrow27z^3-27z^2+9z=3^x\)

\(\Leftrightarrow9z^3-9z^2+z=3^{x-2}\) 

\(\Leftrightarrow z\left(9z^2-9z+1\right)=3^{x-2}\)

Do \(9z^2-9z+1⋮̸3\)  nên \(\left\{{}\begin{matrix}z=3^{x-2}\\9z^2-9z+1=1\end{matrix}\right.\), vô lí do \(z\inℕ^∗\)

Vậy với \(x\ge3\) thì pt đã cho không có nghiệm nguyên.

Do đó pt đã cho có cặp nghiệm nguyên \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(0;0\right);\left(2;2\right)\right\}\)

- Nếu x < 0 => y không nguyên

- Nếu x = 0 => y = 0

- Nếu x = 1 => y không nguyên 

- Nếu x = 2 => y = 2 

- Nếu x > 2 pt => 3x = y3 + 1 ( Vì x > 2 => y3 > 9 ) 

Ta suy ra �3+1⋮9⇒�3÷9y3+1⋮9⇒y3÷9dư 1 

$\Rightarrow y=9k+2$hoặc  $y=9k+5$hoặc  $y=9k+8$( k là số nguyên dương ) (1) 

Mặt khác, ta cũng có �3+1⋮3y3+1⋮3

$\Rightarrow y=3m+2$( m nguyên dương ) (2)

Từ (1) và (2) => vô nghiệm ( Vì từ (2) $\Rightarrow y=9n+6$không thỏa (1) )

Vậy phương trình có 2 cặp nghiệm nguyên không âm là ( 0;0 ) và ( 2;2 )

x nguyên, y nguyên

=> x+y, xy nguyên

Ta có: \(x^3+y^3=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)=1995⋮3\)

=> \(\left(x+y\right)^3⋮3\)

vì 3 là số nguyên tố

=> x+y chia hết cho 3(2)

=>\(\left(x+y\right)^3⋮9\) và 3xy(x+y)  chia hết cho 9

=> 1995 chia hết cho 9 vô lí

Vậy nên không tồn tại x, y  nguyên thỏa mãn  

Ta có: \(x^2-y^2=2002\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)=2002\)

Vì x=\(\frac{\left(x+y\right)+\left(x-y\right)}{2}\in Z\)

=> (x+y)+(x-y) là số chẵn 

TH1: x+y là số chẵn, x-y là số chẵn

=> (x+y) (x-y) chia hết cho 4

=> 2002 chia hết cho 4 vô lí

TH2: x+y là số lẻ, x-y là số lẻ 

=> (x-y)(x+y) là một số lẻ

=> 2002 là số lẻ vô lí

Vậy ko tồn tại x, y thỏa mãn