Cho a,b,c trong đó không có hai số nào là số đối nhau. Chứng minh rằng:
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}=\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{a}{c+a}\)
Những câu hỏi liên quan
Cho a, b, c trong đó không có hai số nào là số đối của nhau. Chứng minh rằng:
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}=\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{a^2}{c+a}\)
Cho a,b,c không có số nào đối nhau chứng minh rằng\(\frac{a^2}{b-c}\) + \(\frac{b^2}{c-a}\) + \(\frac{c^2}{a-b}\)= 0
Kiểm tra lại đề nhé!
Thay các số a = 1; b = 2; c = 3 vào thấy không thỏa mãn.
Chứng minh rằng nếu a,b,c là 3 số thỏa mãn hệ thức :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\) thì 2 trong 3 số đó phải là 2 số đối nhau
Ta có:
1/a + 1/b + 1/c=1 / (a + b + c)
Vậy nên 1/a + 1/b + 1/c - 1/ (a + b + c) = 0
=> (a + b) / ab + (a + b) / c (a + b + c)=0 (cộng 2 số đầu với nhau và 2 số còn lại với nhau)
=> (a + b) ( 1 / ab - 1 / c (a + b + c)) = 0.
=> (a + b) (c (a + b + c)) + ab ) / ( -ab (a + b +c)) =0
=> (a + b) (ac +bc +c^2 + ab) / ( - ab (a + b + c)) =0=0
=> (a + b) ( c (b + c) + a (c +b)) / ( - ab (a + b + c)) =0
=> (a + b) (b +c) ( c + a) / ( - ab (a + b + c)) =0
=> a + b =0 hay b + c =0 hay c + a =0, vậy 2 trong 3 số a, b, c có 2 số đối nhau ( vì 2 số đối nhau cộng lại mới bằng 0)
Đúng 0
Bình luận (0)
Theo bài ra ta có :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{bc+ca+ab}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\left(bc+ca+ab\right)\left(a+b+c\right)=abc\)
\(\Rightarrow\left(bc+ca+ab\right)\left(a+b+c\right)-abc=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
\(\Rightarrow a+b=0\)( vì \(a=-b\))
\(b+c=0\)(vì \(b=-c\))
\(c+a=0\)( vì c=-a )
Đúng 0
Bình luận (0)
1) BIẾT a,b,c là ba số tự nhiên nguyên tố cùng nhau từng đôi một .Chứng minh ƯCLN( abc ; ab+bc+ca ) 12) chứng minh rằng nếu a,b,c thỏa mãn bất đẳng thức frac{a^2}{a+b}+frac{b^2}{b+c}+frac{c^2}{c+a}gefrac{a^2}{b+c}+frac{b^2}{c+a}+frac{c^2}{a+b}gefrac{a^2}{c+a}+frac{b^2}{a+b}+frac{c^2}{b+c}...thì /a/ /b/ /c/ dấu / / là giá trị tuyệt đối nha mk cần gấp các bạn cố giúp mk
Đọc tiếp
1) BIẾT a,b,c là ba số tự nhiên nguyên tố cùng nhau từng đôi một .Chứng minh ƯCLN( abc ; ab+bc+ca ) = 1
2) chứng minh rằng nếu a,b,c thỏa mãn bất đẳng thức \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{a^2}{c+a}+\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}...\)thì /a/ = /b/ = /c/
dấu / / là giá trị tuyệt đối nha mk cần gấp các bạn cố giúp mk
Chứng minh rằng : nếu a,c,b là 3 số thỏa mãn hệ thức
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\) thì 2 trong 3 số đó phải là đối nhau
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{c-a-b-c}{c\left(a+b+c\right)}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{-\left(a+b\right)}{ac+bc+c^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ac+bc+c^2\right)=-\left(a+b\right)ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ac+bc+c^2\right)+\left(a+b\right)ab=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ac+bc+c^2+ab\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left[a\left(b+c\right)+c\left(b+c\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
<=> a + b = 0 hoặc b + c = 0 hoặc c + a = 0
<=> a = -b hoặc b = -c hoặc c = -a
Vậy...
Đúng 0
Bình luận (0)
Ta có :
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{bc+ca+ab}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\left(bc+ca+ab\right)\left(a+b+c\right)=abc\)
\(\Rightarrow\left(bc+ac+ab\right)\left(a+b+c\right)-abc=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=0\\b+c=0\\c+a=0\end{cases}}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho \(a,b,c\ne0\)và \(a+b+c\ne0\)thỏa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\).Chứng minh rằng trong 3 số a,b,c có 2 số đối nhau. Từ đó suy ra \(\frac{1}{a^{2019}}+\frac{1}{b^{2019}}+\frac{1}{c^{2019}}=\frac{1}{a^{2019}+b^{2019}+c^{2019}}\)
Giúp mình với!!!!
EM tham khảo phần đầu ở link: Câu hỏi của Đinh Nguyến Nhật Minh - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Trong 3 số a,b, c có hai số đối nhau g/s 2 số đó là a và b kho đó a=-b
=> \(\frac{1}{a^{2019}}+\frac{1}{b^{2019}}+\frac{1}{c^{2019}}=\frac{1}{\left(-b\right)^{2019}}+\frac{1}{b^{2019}}+\frac{1}{c^{2019}}=-\frac{1}{b^{2019}}+\frac{1}{b^{2019}}+\frac{1}{c^{2019}}=\frac{1}{c^{2019}}\)
và \(\frac{1}{a^{2019}+b^{2019}+c^{2019}}=\frac{1}{\left(-b\right)^{2019}+b^{2019}+c^{2019}}=\frac{1}{-b^{2019}+b^{2019}+c^{2019}}=\frac{1}{c^{2019}}\)
Do đó: \(\frac{1}{a^{2019}}+\frac{1}{b^{2019}}+\frac{1}{c^{2019}}=\frac{1}{a^{2019}+b^{2019}+c^{2019}}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a, b, c là ba số khác nhau, chứng minh rằng:
\(\frac{b-c}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{c-a}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{a-b}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}=\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{c-a}\)
Ta có : \(\frac{b-c}{\left(a-b\right)\left(a+c\right)}+\frac{c-a}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{a-b}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)
\(=\frac{-\left(a-b\right)+\left(a-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{-\left(b-c\right)+\left(b-a\right)}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{-\left(c-a\right)+\left(c-b\right)}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}\)
\(=-\frac{1}{a-c}+\frac{1}{a-b}+\frac{-1}{b-a}+\frac{1}{b-c}+\frac{-1}{c-b}+\frac{1}{c-a}\)
\(=\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b}+\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}\)
\(=\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{c-a}\)
Cho 3 số thực a,b,c khác 0 và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\) .Chứng minh rằng trong 3 số a,b,c luôn có 2 số đối nhau ..
Từ đó suy ra với mọi n lẻ thì \(\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b+c}=\frac{bc+ca+ab}{abc}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(bc+ca+ab\right)=abc\)
\(\Rightarrow abc+a^2c+a^2b+b^2c+abc+ab^2+bc^2+ac^2+abc=abc\)
\(\Rightarrow2abc+a^2c+a^2b+b^2c+ab^2+bc^2+ac^2=0\)
\(\Rightarrow\left(abc+a^2b\right)+\left(ac^2+a^2c\right)+\left(b^2c+b^2a\right)+\left(bc^2+abc\right)=0\)
\(\Rightarrow ab\left(a+c\right)+ac\left(a+c\right)+b^2\left(a+c\right)+bc\left(a+c\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(ab+ac+b^2+bc\right)\left(a+c\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[\left(ab+ac\right)+\left(b^2+bc\right)\right]\left(a+c\right)=0\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)=0\)
Do đó trong a , b , c luôn có 2 số đối nhau.
Phần 2 : Do vai trò a , b , c như nhau nên coi \(a=-b\)( Do có 2 số đối nhau)
\(\Rightarrow a^n=-b^n\)(Vì n lẻ )
\(\Rightarrow\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{a^n+b^n}{a^n.b^n}+\frac{1}{c^n}=0+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{c^n}\)
\(\frac{1}{a^n+b^n+c^n}=\frac{1}{\left(a^n+b^n\right)+c^n}=\frac{1}{0+c^n}=\frac{1}{c^n}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}\)
Vậy ...
Đúng 0
Bình luận (0)
cho a , b, c khác 0 và a+b+c khác 0 thoả mãn điều kiện \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
chứng minh rằng trong 3 số a,b,c có 2 số đối nhau từ đó suy ra 1/(a^2009) + 1/(b^2009) + 1/(c^2009) = 1/(a^2009+b^2009+c^2009)