Lời giải

a có: AH  vuông góc BC suy ra  hình tam giác AHC vuông tại H, hình tam giác AHB vuông tại H

                          => \widehat{C}+\widehat{HAC}=90^o ; \widehat{ABH}+\widehat{BAH}=90^o                          Có: AI là phân giác \widehat{BAH}nên \widehat{IAH}= \widehat{IAB}=\frac{1}{2}\widehat{BAH}=\widehat{C}

[ vì theo giả thiết có \widehat{BAH}=2\widehat{C}BAH=2C]

                           Suy ra \widehat{IAH}+\widehat{HAC}=90^o                            =>\widehat{IAC}=90^o hay \widehat{IAE}=90^o=>\Delta IAE=>ΔIAEvuông tại A [1]

                               Lại có \widehat{AIE}=\widehat{IAB}+\widehat{IBA}A[góc ngoài tại đỉnh I của \Delta ABIΔABI]

                                Mà BE là phân giác \widehat{ABH}\Rightarrow\widehat{IBA}=\frac{1}{2}\widehat{ABH}ABH

                                Suy ra:  \widehat{AIE}=\frac{1}{2}\left[\widehat{BAH}+\widehat{ABH}\right]=\frac{1}{2}.90^o=45^oA[2]

                               Từ 1 và 2 suy ra \Delta AIE vuông cân tại A

                               Suy ra AE là phân giác ngoài của \Delta ABH tại A,BE là phân giác trong tại B của \Delta ABH

                                => HE là phân giác ngoài tại H của \Delta BAH

                                => HE là phân giác \widehat{AHC}

                                  Vậy ta có điều phải chứng minh

                        Ta có: AH  vuông góc BC suy ra  hình tam giác AHC vuông tại H, hình tam giác AHB vuông tại H

                          \(=>\) \(\widehat{C}+\widehat{HAC}=90^o\) ; \(\widehat{ABH}+\widehat{BAH}=90^o\)

                          Có: AI là phân giác \(\widehat{BAH}\)nên \(\widehat{IAH}\)= \(\widehat{IAB}=\frac{1}{2}\widehat{BAH}=\widehat{C}\)[ vì theo giả thiết có \(\widehat{BAH}=2\widehat{C}\)]

                           Suy ra \(\widehat{IAH}+\widehat{HAC}=90^o\)

                            \(=>\)\(\widehat{IAC}=90^o\)hay \(\widehat{IAE}=90^o=>\Delta IAE\)vuông tại A [1]

                               Lại có \(\widehat{AIE}=\widehat{IAB}+\widehat{IBA}\)[góc ngoài tại đỉnh I của \(\Delta ABI\)]

                                Mà BE là phân giác \(\widehat{ABH}\Rightarrow\widehat{IBA}=\frac{1}{2}\widehat{ABH}\)

                                Suy ra:  \(\widehat{AIE}=\frac{1}{2}\left[\widehat{BAH}+\widehat{ABH}\right]=\frac{1}{2}.90^o=45^o\)[2]

                               Từ 1 và 2 suy ra \(\Delta AIE\)vuông cân tại A

                               Suy ra AE là phân giác ngoài của \(\Delta ABH\)tại A,BE là phân giác trong tại B của \(\Delta ABH\)

                                => HE là phân giác ngoài tại H của \(\Delta BAH\)

                                => HE là phân giác \(\widehat{AHC}\)

                                  Vậy ta có điều phải chứng minh