P là số NT lớn hơn 3 do đó p lẻ 

Nên p + 3 chẵn vậy p + 3 là hợp số

Vậy p ; p + 2 ; p + 3 không thể đồng thời là 3 số NT (đpcm)     

Vì p nguyên tố lớn hơn 3 => p chia 3 dư 1 hoặc 2

TH1: p=3k+1(k thuộc N)

=>p+2=3(k+1)

=>p+2 chia hết cho 3

Mà p+2 nguyên tố => p\(\ne\) 3k+1

TH2: p=3x+2(\(x\in\)N)

=>p+4=3(x+2)

=> p+4 chia hết cho 3

Mà p+4 nguyên tố=>p\(\ne\)3x+2

Vậy p nguyên tố lớn hơn 3 thì p,p+2,p+4 ko cùng nguyên tố

Nếu p=3k+1

=>p+4=3k+1+4=3k+5

=>p+2=3k+1+2=3k+3 chia hết cho 3=>không thể đồng thời là số nguyên tố.

Nếu p=3k+2

=>p+2=3k+2+2=3k+4

=>p+4=3k+2+4=3k+6 chia hết cho 3 => không thể đồng thời là số nguyên tố 

Cảm ơn cô

Bài 1:

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ

vậy p + 1 và p -  1 là hai số chẵn.

Mà p + 1 - (p - 1) = 2 nên p + 1 và p - 1 là hai số chẵn liên tiếp.

đặt p - 1 = 2k thì p + 1 = 2k + 2 (k \(\in\) N*)

A = (p + 1).(p - 1) = (2k + 2).2k = 2.(k + 1).2k = 4.k.(k +1) 

Vì k và k + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên chắc chẵn phải có một số chia hết cho 2.

⇒ 4.k.(k + 1) ⋮ 8 

⇒ A = (p + 1).(p - 1) ⋮ 8 ⁽¹⁾

Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng:

   p = 3k + 1; hoặc p = 3k + 2

Xét trường hợp p = 3k + 1 ta có:

  p - 1 = 3k + 1  - 1  = 3k ⋮ 3

⇒ A = (p + 1).(p - 1) ⋮ 3  ⁽²⁾

Từ (1) và (2) ta có:

A ⋮ 3; 8  ⇒ A \(\in\) BC(3; 8)

3 = 3; 8 = 2³; ⇒ BCNN(3; 8) = 2³.3 = 24

⇒ A \(\in\) B(24) ⇒ A ⋮ 24 (*)

Xét trường hợp p = 3k + 2 ta có

p + 1 = 3k + 2 + 1  = 3k + 3 = 3.(k + 1) ⋮ 3 ⁽³⁾

Từ (1) và (3) ta có: 

A = (p + 1).(p - 1) ⋮ 3; 8 ⇒ A \(\in\) BC(3; 8)

3 = 3; 8 = 2³ ⇒ BCNN(3; 8) = 2³.3 = 24 

⇒ A \(\in\) BC(24) ⇒ A \(⋮\) 24 (**)

Kết hợp (*) và(**) ta có

A \(⋮\) 24 (đpcm)

Bài 2:

P = 10p + 1 và p là số nguyên tố lớn hơn 3 chứng minh 5p + 1 là hợp số

Ta có vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ

⇒ p = 2k + 1 (k \(\in\) N*)

ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}p=2k+1\\10p+1=10.\left(2k+1\right)+1\end{matrix}\right.\)

⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}5p=5.\left(2k+1\right)\\10p+1=20k+11\end{matrix}\right.\)

⇒\(\left\{{}\begin{matrix}5p=10k+5\\10p+1=20k+11\end{matrix}\right.\)

⇒ 10p + 1 - 5p =  20k + 11 - (10k + 5)

⇒ 5p + 1 = 20k + 11  - 10k - 5

⇒ 5p + 1  = 10k + 6 

⇒ 5p + 1  = 2.(5k + 3)

⇒ 5p + 1 ⋮ 1; 1; (5k + 3) 

⇒ 5p + 1 là hợp số (đpcm)

e có 2 chia hết cho d; 2n+3 lẻ nên (2n+3,4n+8)=1

còn n+1-n=1 nên (n,n+1)=1

Gọi \(d=UCLN\left(2n+3,4n+8\right)\)

Suy ra \(2n+3\)chia hết cho d và \(4n+8\)chia hết cho d

Ta có :

\(2n+3\)chia hết cho d \(=2.\left(2n+3\right)\text{⋮}d\)nên 

Vì \(4n+8\text{⋮}d\)và \(4n+6\text{⋮}d\)nên 

\(\left(4n+8\right)-\left(4n+6\right)\text{⋮}d=2\text{⋮}d=d..\left\{1;2\right\}\)

Vì \(2n+3\)là số lẻ nên \(d=2\)

Vậy đó

Gọi ƯCLN(2n + 3; 2n + 1) = d

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\2n+1⋮d\end{cases}}\)          

=> 2n + 3 - (2n + 1) \(⋮\)d

=> 2n + 3 - 2n - 1 \(⋮\)d

=> 2 \(⋮\)d          => d  ∈ {1;2}

Do 2n + 1 lẻ => d lẻ => d = 1

Vậy  ∀ x  ∈ N thì 2n + 3 và 2n + 1 là 2 số nguyên tố cùng nhau