3) Đặt b+c=x;c+a=y;a+b=z.

=>a=(y+z-x)/2 ; b=(x+z-y)/2 ; c=(x+y-z)/2

BĐT cần CM <=> \(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\ge\frac{3}{2}\)

VT=\(\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}-1+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}-1+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-1\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)-3\right]\)

\(\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2-3\right)=\frac{3}{2}\)(Cauchy)

Dấu''='' tự giải ra nhá

Bài 4 

dễ chứng minh \(\left(a+b\right)^2\ge4ab;\left(b+c\right)^2\ge4bc;\left(a+c\right)^2\ge4ac\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(a+c\right)^2\ge64a^2b^2c^2\)

rồi khai căn ra \(\Rightarrow\)dpcm. 

đấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)

bài 1 \(\left(\frac{x}{y}\right)^2+\left(\frac{y}{z}\right)^2\ge2\times\frac{x}{y}\times\frac{y}{z}=2\frac{x}{z}\)

làm tương tự rồi cộng các vế các bất đẳng thức lại với nhau ta có dpcm ( cộng xong bạn đặt 2 ra ngoài ý, mk ngại viết nhiều hhehe) 

Bài 3:
Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{9}{x+y+z}\) có:
\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{c+a}+\dfrac{a+b+c}{a+b}-3\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\right)-3\)

\(\ge\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{9}{2\left(a+b+c\right)}\right)-3\)

\(=\dfrac{9}{2}-3=1,5\)

Dấu " = " khi a = b = c

Bài 5:

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM có:
\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge2ab+2cd\ge4\sqrt{abcd}\)

Dấu " = " khi a = b = c = d = 1

7) VP phải là abc nha

\(\left(b+c-a\right)\left(b+a-c\right)=b^2-\left(c-a\right)^2\le b^2\)

\(\left(c+a-b\right)\left(c+b-a\right)=c^2-\left(a-b\right)^2\le c^2\)

\(\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)=a^2-\left(b-c\right)^2\le a^2\)

Nhân từng vế của 3 BĐT trên

\(\left[VT\right]^2\le VP^2\)

Các biểu thức trong ngoặc vuông đều dương nên khai phương ta được đpcm

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

2) Giả sử \(a\le0\):

Nếu a=0 thì trái với abc>0

Nếu a<0: Do a+b+c>0 nên b+c>0. Do abc>0 nên bc<0

Suy ra a(b+c)+bc<0, mâu thuẫn với ab+bc+ca>0

Vậy a>0

Tương tự ta có b>0;c>0

Cách 1: Nếu bạn đã học các hằng đẳng thức đáng nhớ.

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)\(=\frac{a^2+b^2}{ab}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}-2\)\(=\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\)

Vì a,b > 0 nên \(\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}>0\)

hay \(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}-2\)\(>0\)

=>\(\frac{a^2+b^2}{ab}>2\)

=>\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}>2\)

Cách 2: nếu bạn đã học bất đẳng thức cô-si:

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}\ge2\sqrt{1}>2\)(theo bất đẳng thức cô-si)

2.P=\(\frac{3-a}{a+10}\)

a, để P>0 

TH1 3-a>0 và a+10 >0

=> a<3 và a> -10

=> -10<a<3

TH2 3-a<0 và a+10<0

=> a>3 và a<-10(vô lý)

Vậy để P>0 thì -10<a<3

b.để P<0

TH1 3-a<0 và a+10>0

        a>3 và a>-10 

         Vậy a>3

TH2 3-a>0 và a+10<0

   => a<3 và a<-10

Vậy a<-10

vậy để P<0 thì a >3 hoặc a<-10

bài 3.

a.\(\frac{7}{3}\)<x<\(\frac{17}{2}\)=>\(\frac{14}{6}\)<x<\(\frac{51}{6}\)

Vậy x=\(\left\{\frac{15}{6};\frac{16}{6};\frac{17}{6};..........;\frac{50}{6}\right\}\)

b.\(\frac{-3}{2}\)<y<2=>\(\frac{-3}{2}\)<y<\(\frac{4}{2}\)

Vậy y=\(\left\{\frac{-2}{2};\frac{-1}{2};\frac{0}{2};\frac{1}{2};\frac{2}{2};\frac{3}{2}\right\}\)

c.\(\frac{-17}{3}\)<z<\(\frac{-3}{2}\)=>\(\frac{-34}{6}\)<z<\(\frac{-9}{6}\)

Vậy z=\(\left\{\frac{-33}{6};\frac{-32}{6};\frac{-31}{6};.........\frac{-10}{6}\right\}\)

bài 4. 

\(\frac{a}{m}\)=\(\frac{2a}{2m}\)=\(\frac{a+a}{2m}\);      \(\frac{a+b}{2m}\)

Vì ta có a<b=> a+a<a+b

=> \(\frac{a+a}{2m}\)<\(\frac{a+b}{2m}\)=>\(\frac{a}{m}\)<\(\frac{a+b}{2m}\)(1)

\(\frac{b}{m}\)=\(\frac{2b}{2m}\)=\(\frac{b+b}{2m}\);   \(\frac{a+b}{2m}\)

Vì a<b=>a+b<b+b

=>\(\frac{a+b}{2m}\)<\(\frac{b+b}{2m}\)=>\(\frac{a+b}{2m}\)<\(\frac{b}{m}\)(2)

từ(1) và(2) ta có \(\frac{a}{m}\)<\(\frac{a+b}{2m}\)<\(\frac{b}{m}\)

Hay mình làm cụ thể hơn cho bạn dễ hiểu

Chờ xí

Xét tích     \(a\left(b+2016\right)=ab+2016a\)

\(b\left(a+2016\right)=ab+2016b\). Vì b > 0 nên \(b+2016>0\)

Ta có \(a< b\) thì \(ab+2016a< ab+2016b\)

\(a\left(b+2016\right)< b\left(a+2016\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+2016}{b+2016}\)