Cho phân số \(\frac{a}{b}\) ( a, b thuộc Z, a> 0, b> 0, a< b ). Chứng minh rằng \(\frac{a}{b}\)+ \(\frac{b}{a}\)> 2
Bài 1: Chứng minh rằng (x, y, z > 0)
Bài 2: Cho a + b + c > 0; abc > 0; ab + bc + ca > 0. Chứng minh rằng a > 0; b > 0; c > 0.
Bài 3: Chứng minh rằng (a, b, c > 0)
Bài 4: Chứng minh rằng (a + b) (b + c) (c + a) 8abc (a, b, c
0)
Bài 5: Chứng minh rằng (a, b, c, d
0)
Bài 6: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn .
Chứng minh .
Bài 7: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng (a+b-c) (b+c-a) (c+a-b) ab.
Bài 8: Cho x, y, z > 0; x+y+z = 1. Chứng minh rằng .
Bài 9: Cho 2 số có tổng không đổi. Chứng minh rằng tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi 2 số đó bằng nhau.
Bài 10: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
3) Đặt b+c=x;c+a=y;a+b=z.
=>a=(y+z-x)/2 ; b=(x+z-y)/2 ; c=(x+y-z)/2
BĐT cần CM <=> \(\frac{y+z-x}{2x}+\frac{x+z-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\ge\frac{3}{2}\)
VT=\(\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}-1+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}-1+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}-1\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)-3\right]\)
\(\ge\frac{1}{2}\left(2+2+2-3\right)=\frac{3}{2}\)(Cauchy)
Dấu''='' tự giải ra nhá
Bài 4
dễ chứng minh \(\left(a+b\right)^2\ge4ab;\left(b+c\right)^2\ge4bc;\left(a+c\right)^2\ge4ac\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(a+c\right)^2\ge64a^2b^2c^2\)
rồi khai căn ra \(\Rightarrow\)dpcm.
đấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
bài 1 \(\left(\frac{x}{y}\right)^2+\left(\frac{y}{z}\right)^2\ge2\times\frac{x}{y}\times\frac{y}{z}=2\frac{x}{z}\)
làm tương tự rồi cộng các vế các bất đẳng thức lại với nhau ta có dpcm ( cộng xong bạn đặt 2 ra ngoài ý, mk ngại viết nhiều hhehe)
cho a,b thuộc Z và b khác 0
chứng minh rằng \(\frac{a}{-b}=\frac{-a}{b}va\frac{-a}{-b}=\frac{a}{b}\)
Bài 1: Chứng minh rằng (x, y, z > 0)
Bài 2: Cho a + b + c > 0; abc > 0; ab + bc + ca > 0. Chứng minh rằng a > 0; b > 0; c > 0.
Bài 3: Chứng minh rằng (a, b, c > 0)
Bài 4: Chứng minh rằng (a + b) (b + c) (c + a) 8abc (a, b, c
0)
Bài 5: Chứng minh rằng (a, b, c, d
0)
Bài 6: Cho x, y, z > 0 thỏa mãn .
Chứng minh .
Bài 7: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng (a+b-c) (b+c-a) (c+a-b) ab.
Bài 8: Cho x, y, z > 0; x+y+z = 1. Chứng minh rằng .
Bài 9: Cho 2 số có tổng không đổi. Chứng minh rằng tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi 2 số đó bằng nhau.
Bài 10: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng .
Bài 3:
Áp dụng bất đẳng thức \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{9}{x+y+z}\) có:
\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=\dfrac{a+b+c}{b+c}+\dfrac{a+b+c}{c+a}+\dfrac{a+b+c}{a+b}-3\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{a+b}\right)-3\)
\(\ge\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{9}{2\left(a+b+c\right)}\right)-3\)
\(=\dfrac{9}{2}-3=1,5\)
Dấu " = " khi a = b = c
Bài 5:
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM có:
\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge2ab+2cd\ge4\sqrt{abcd}\)
Dấu " = " khi a = b = c = d = 1
7) VP phải là abc nha
\(\left(b+c-a\right)\left(b+a-c\right)=b^2-\left(c-a\right)^2\le b^2\)
\(\left(c+a-b\right)\left(c+b-a\right)=c^2-\left(a-b\right)^2\le c^2\)
\(\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)=a^2-\left(b-c\right)^2\le a^2\)
Nhân từng vế của 3 BĐT trên
\(\left[VT\right]^2\le VP^2\)
Các biểu thức trong ngoặc vuông đều dương nên khai phương ta được đpcm
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
2) Giả sử \(a\le0\):
Nếu a=0 thì trái với abc>0
Nếu a<0: Do a+b+c>0 nên b+c>0. Do abc>0 nên bc<0
Suy ra a(b+c)+bc<0, mâu thuẫn với ab+bc+ca>0
Vậy a>0
Tương tự ta có b>0;c>0
cho phân số \(\frac{a}{b}\)\(\left(a,b\in Z,0< a< b\right)\). Chứng minh rằng \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}>2\)
Cách 1: Nếu bạn đã học các hằng đẳng thức đáng nhớ.
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)\(=\frac{a^2+b^2}{ab}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}-2\)\(=\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\)
Vì a,b > 0 nên \(\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}>0\)
hay \(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}-2\)\(>0\)
=>\(\frac{a^2+b^2}{ab}>2\)
=>\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}>2\)
Cách 2: nếu bạn đã học bất đẳng thức cô-si:
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}.\frac{b}{a}}\ge2\sqrt{1}>2\)(theo bất đẳng thức cô-si)
Cho a,b thuộc Z, a>b, b>0. Chứng minh rằng: \(\frac{a}{b}< \frac{a+2009}{b+2009}\)
2. Cho \(P=\frac{3-a}{a+10}\) ( a thuộc Z)
a/ Tìm a để P>0
b/ Tìm a để P<0
3. Tìm các số hữu tỉ x, y, z biết:
a/ \(\frac{7}{3}< x< \frac{17}{2}\)
b/ \(\frac{-3}{2}< y< 2\)
c/ \(\frac{-17}{3}< z< \frac{-3}{2}\)
4/ Cho a, b, m thuộc Z; m>0
Chứng minh rằng nếu a<b thì
\(\frac{a}{m}< \frac{a+b}{2m}< \frac{b}{m}\)
2.P=\(\frac{3-a}{a+10}\)
a, để P>0
TH1 3-a>0 và a+10 >0
=> a<3 và a> -10
=> -10<a<3
TH2 3-a<0 và a+10<0
=> a>3 và a<-10(vô lý)
Vậy để P>0 thì -10<a<3
b.để P<0
TH1 3-a<0 và a+10>0
a>3 và a>-10
Vậy a>3
TH2 3-a>0 và a+10<0
=> a<3 và a<-10
Vậy a<-10
vậy để P<0 thì a >3 hoặc a<-10
bài 3.
a.\(\frac{7}{3}\)<x<\(\frac{17}{2}\)=>\(\frac{14}{6}\)<x<\(\frac{51}{6}\)
Vậy x=\(\left\{\frac{15}{6};\frac{16}{6};\frac{17}{6};..........;\frac{50}{6}\right\}\)
b.\(\frac{-3}{2}\)<y<2=>\(\frac{-3}{2}\)<y<\(\frac{4}{2}\)
Vậy y=\(\left\{\frac{-2}{2};\frac{-1}{2};\frac{0}{2};\frac{1}{2};\frac{2}{2};\frac{3}{2}\right\}\)
c.\(\frac{-17}{3}\)<z<\(\frac{-3}{2}\)=>\(\frac{-34}{6}\)<z<\(\frac{-9}{6}\)
Vậy z=\(\left\{\frac{-33}{6};\frac{-32}{6};\frac{-31}{6};.........\frac{-10}{6}\right\}\)
bài 4.
\(\frac{a}{m}\)=\(\frac{2a}{2m}\)=\(\frac{a+a}{2m}\); \(\frac{a+b}{2m}\)
Vì ta có a<b=> a+a<a+b
=> \(\frac{a+a}{2m}\)<\(\frac{a+b}{2m}\)=>\(\frac{a}{m}\)<\(\frac{a+b}{2m}\)(1)
\(\frac{b}{m}\)=\(\frac{2b}{2m}\)=\(\frac{b+b}{2m}\); \(\frac{a+b}{2m}\)
Vì a<b=>a+b<b+b
=>\(\frac{a+b}{2m}\)<\(\frac{b+b}{2m}\)=>\(\frac{a+b}{2m}\)<\(\frac{b}{m}\)(2)
từ(1) và(2) ta có \(\frac{a}{m}\)<\(\frac{a+b}{2m}\)<\(\frac{b}{m}\)
Cho a,b thuộc Z; a<b, b>0. Chứng minh rằng \(\frac{a}{b}\)<\(\frac{a+2016}{b+2016}\)
Hay mình làm cụ thể hơn cho bạn dễ hiểu
Xét tích \(a\left(b+2016\right)=ab+2016a\)
\(b\left(a+2016\right)=ab+2016b\). Vì b > 0 nên \(b+2016>0\)
Ta có \(a< b\) thì \(ab+2016a< ab+2016b\)
\(a\left(b+2016\right)< b\left(a+2016\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+2016}{b+2016}\)
Cho phân số \(\frac{A}{B}\) và phân số \(\frac{a}{c}\) có b + c = a (a,b,c thuộc Z, b khác 0, c khác 0).
Chứng tỏ rằng tích của 2 phân số nay bằng tôngr của chúng. Thử lại với a=8, b=3.
Chứng minh rằng : nếu a/b < c/d ( b > 0 ; d > 0 ) thì a/b < a+c/b+d< c/d
a) tìm 4 phân số lớn hơn \(\frac{-1}{2}\)và nhỏ hơn \(\frac{-1}{3}\)
b) Chứng minh rằng : \(\frac{a}{m}< \frac{a+b}{2m}< \frac{b}{m}\)( với a, b, m\(\in Z\); m > 0 )