ta có:\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\ge0\)

\(\Rightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)

\(\Rightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

dấu "=" xảy ra khi a=b

Cho  A bằng 34x89y

tìm x y biết:

A chia hết cho 4 chia hết cho 3 chia 2 dư1 chia 5 dư 4

tích đúng cho ai hợp lý

\(\frac{a+b}{2}>=\sqrt{ab}\)

\(\left(\sqrt{a}\right)^2+\left(\sqrt{b}\right)^2>=2\sqrt{ab}\)

\(\left(\sqrt{a}\right)^2-2\sqrt{ab}+\left(\sqrt{b}\right)^2>=0\)

\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2>=0\)luôn đúng

<=>\(\frac{a+b}{2}>=\sqrt{ab}\)

k giúp mình nhé

Bạn ơi đề bài có điều kiện a, b, c không vậy. Hay là a, b, c bất kì?

dạ a,b,c>0 ạ.em quên mất 

Với a, b, c >0

\(\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}+\frac{2}{3}\ge\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}\) (1)

<=> \(1-\left(\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}+\frac{2}{3}\right)\le1-\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}-\frac{abc}{a^3+b^3+c^3}\le\frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{3\left(a^3+b^3+c^3\right)}\le\frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)}{3\left(a^3+b^3+c^3\right)}\le\frac{a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}-\frac{a+b+c}{3\left(a^3+b^3+c^3\right)}\right)\ge0\)(2)

Ta có: \(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=\frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\right]\ge0\)

Với a,b, c>0

(1) <=> \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\ge\frac{a+b+c}{3\left(a^3+b^3+c^3\right)}\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2a^3+2b^3+2c^3-ab^2-ac^2-ba^2-bc^2-ca^2-cb^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+a^2\left(a-c\right)+b^2\left(b-a\right)+b^2\left(b-c\right)+c^2\left(c-a\right)+c^2\left(c-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2+\left(b+c\right)\left(b-c\right)^2+\left(a+c\right)\left(a-c\right)^2\ge0\)Luôn đúng với mọi a, b, c dương

Vậy (1) đúng

"=" xảy ra <=> a=b=c

Ta có : 4( b² + c² + d² + e²) ≥( b + c + d +e )² ( dễ lắm, bạn tự cm lấy nhé, ) 
=> ( b² + c² + d² + e²) ≥ ( b + c + d +e )²/4 (*) 
G/s bdt đề bài đúng, ta có: 
<=> a² + b²+ c² + d²+ e² - a(b + c + d +e) ≥ 0 
Lại có ( *) => ta có : a² + b²+ c² + d² + e² - a(b + c + d +e) ≥ a² + ( b + c + d +e )²/4 - a(b + c + d +e) 
<=> [ a - ( b + c+ d +e)/2]² => hiển nhiên đúng 
Vậy ta có dpcm. 
Với cách này ta cũng có thể chứng minh các bdt tương tự với 3 biến, 4 biến v.v.... 
Chúc bạn học giỏi, chào bạn!  

Sửa đề: a,b,c,d>0

C/m: \(\left(\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}\right)^2\ge\left(a+c\right)\left(c+d\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\left(\frac{a+b}{2}+\frac{c+d}{2}\right)^2=\left[\frac{\left(a+c\right)+\left(b+d\right)}{2}\right]^2\ge\left[\frac{2.\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}}{2}\right]^2=\left(a+c\right)\left(b+d\right)\)

Dấu " = " xảy ra <=> a+c=b+d

Ta có : \(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)

\(\Rightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge2ab+a^2+b^2=\left(a+b\right)^2\left(1\right)\)

Chia cả 2 vế của \(\left(1\right)\)cho 4 , ta được :

\(\frac{a^2+b^2}{2}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\)

\(\Rightarrowđpcm\)