Ta có :

\(A+B=9x^2-7xy+11y^2-4x^2+7xy-6y^2\)

\(\Rightarrow A+B=5x^2+5y^2\)

\(\Rightarrow A+B=5\left(x^2+y^2\right)\)

Vì \(x^2+y^2\ge0\) \(\forall x,y\)

\(\Rightarrow5\left(x^2+y^2\right)\ge0\forall x,y\)

\(\Rightarrow A+B\ge0\forall x,y\)

Vậy A và B không thể có cùng giá trị âm

\(\rightarrowđpcm\)

Giả sử rằng cả A, B, C đều âm. Như vậy thì A+B+C<0

\(\Leftrightarrow5x^2+6xy-7y^2-9x^2-8xy+11y^2+6x^2+2xy-3y^2< 0\)

\(\Leftrightarrow2x^2+y^2< 0\)là điều vô lý (vì cả 2 số hạng đều không âm)

Do đó A, B, C không thể cùng có giá trị âm.

Ta có \(A+B+C=\left(5x^2+6xy-7y^2\right)+\left(-9x^2-8xy+11y^2\right)+\left(6x^2+2xy-3y^2\right)\)

=> \(A+B+C=\left(5x^2+6x^2-9x^2\right)+\left(6xy+2xy-8xy\right)+\left(11y^2-3y^2-7y^2\right)\)

=> \(A+B+C=2x^2+y^2\)

Mà \(2x^2\ge0\)và \(y^2\ge0\)

=> \(A+B+C=2x^2+y^2\ge0\)

=> A, B, C không thể có cùng giá trị âm (đpcm)

\(H-\left(3x^2y^2-7xy+3\right)=-5x^2y^2+7xy-y^4-5\)

=> \(H=\left(-5x^2y^2+7xy-y^4-5\right)+\left(3x^2y^2-7xy+3\right)\)

=> \(H=-2x^2y^2-y^4-2\)

Ta có \(-2x^2y^2\le0\)với mọi giá trị của x

\(-y^4\le0\)với mọi giá trị của x

=> \(-2x^2y^2-y^4-2< 0\)với mọi giá trị của x

Vậy tại mọi giá trị của x, y thì H luôn âm (đpcm)

Ta có :

P = 4x² + 7xy + 3y² + 5y

P = 4x² + 7xy + 3y² + ( x + y ) . y

P = 4x² + 8xy + 4y² 

P = ( 2x )² + 2 . 2x . 2y + ( 2y )²

P = ( 2x + 2y )² = 10² = 100

\(\left(4x^2y^3+7xy^5-9x^6y^2\right):2xy^2\)

\(=\frac{4x^2y^3}{2xy^2}+\frac{7xy^5}{2xy^2}-\frac{9x^6y^2}{2xy^2}=2xy+\frac{7}{2}y^3-\frac{9}{2}x^5\)