\(\hept{\begin{cases}x^2-2x\sqrt{y}+2y=x\\y^2-2y\sqrt{z}+2z=y\\z^2-2z\sqrt{x}+2x=z\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x\sqrt{y}+2y+y^2-2y\sqrt{z}+2z+z^2-2z\sqrt{x}+2x=x+y+z\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{y}\right)^2+\left(y-\sqrt{z}\right)^2+\left(z-\sqrt{x}\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-\sqrt{y}=0\\y-\sqrt{z}=0\\z-\sqrt{x}=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\sqrt{y}\\y=\sqrt{z}\\z=\sqrt{x}\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=y=z=0\\x=y=z=1\end{cases}}\)

google xin tài trợ chương trình

có google thôi anh

\(\hept{\begin{cases}\left(x^2+1\right)y=2x^2\\\left(y^2+1\right)z=2y^2\\\left(z^2+1\right)x=2z^2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\left(I\right)\hept{\begin{cases}y=\frac{2x^2}{x^2+1}\\z=\frac{2y^2}{y^2+1}\\x=\frac{2z^2}{z^2+1}\end{cases}}\)

XÉT CÁC TRƯỜNG HỢP:

1) Cả 3 số x,y,z bằng 0: thế vào hệ ta thấy chúng thỏa mãn

Vậy hệ pt có nghiệm x=y=z=0

2) Nếu có ít nhất một số khác 0. VD: \(x\ne0\)

Từ \(x=\frac{2z^2}{z^2+1}\)\(\Rightarrow x>0\Rightarrow y>0,z>0\)

Nhân từng vế của \(\left(I\right)\)ta có:

\(\frac{8x^2y^2z^2}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\left(z^2+1\right)}=xyz\)\(\Leftrightarrow\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\left(z^2+1\right)=8xyz\)

MẶT KHÁC: \(x^2+1\ge2x\),\(y^2+1\ge2y\),\(z^2+1\ge2z\)

\(\Rightarrow\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\left(z^2+1\right)\ge8xyz\)

DẤU "=" XẢY RA \(\Leftrightarrow x=1,y=1,z=1\)

VẬY HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;0\right),\left(1;1;1\right)\)

Dùng cái đầu đi ạ

Nhận xét: Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó phải thoả \(x,y,z\ge0\).

------

Kí hiệu hàm số \(f\left(x\right)=\frac{2x^2}{x^2+1}\).

Giả sử \(0\le x\le y\) (\(x,y\) này ko liên quan đến hệ). Khi đó ta phát biểu \(f\left(x\right)\le f\left(y\right)\) và biến đổi tương đương thì thấy đúng.

------

Quay lại hệ. Viết lại hệ dưới dạng: \(\hept{\begin{cases}x=f\left(z\right)\\y=f\left(x\right)\\z=f\left(y\right)\end{cases}}\)

Do hệ là bất biến theo phép hoán vị vòng quanh nên ko mất tính tổng quát chỉ cần xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: \(0\le x\le y\le z\). Khi đó theo CM trên thì \(f\left(x\right)\le f\left(y\right)\le f\left(z\right)\) hay \(y\le z\le x\).

Vậy \(x=y=z\) trong trường hợp này.

Trường hợp 2: \(0\le x\le z\le y\). Khi đó theo CM trên thì \(f\left(x\right)\le f\left(z\right)\le f\left(y\right)\) hay \(y\le x\le z\).

Vậy \(x=y=z\) trong trường hợp này.

Tổng hợp lại, trong cả 2 trường hợp ta chỉ cần giải MỘT pt đó là \(\left(x^2+1\right)x=2x^2\).

Pt có nghiệm \(x=0,x=1\).

Vậy \(x=y=z=0,x=y=z=1\) là 2 nghiệm của hệ.

chịu ảnh dùng kiến thức thấp hơn được không

Bạn ơi, mình tìm ra được 5 nghiệm cơ, cũng xoay quanh 1 với -1