Cho a, b là các thực dương .Chứng minh ab(a^2+b^2)<=(a+b)^4/8
Những câu hỏi liên quan
Cho a, b là các thực dương .Chứng minh ab(a^2+b^2)<=(a+b)^4/8
cho (ab)2>=4(a+b). ( a,b là các số thực dương). chứng minh rằng: (ab)2-2(a+b)>=2ab
Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng:\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{ab}{a^2-ab+b^2}\ge3\)
ta có :
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{a^2+b^2-ab}{ab}+1\)
Vậy \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{ab}{a^2-ab+b^2}=\frac{a^2+b^2-ab}{ab}+\frac{ab}{a^2-ab+b^2}+1\ge2+1=3\)(BĐT Cauchy)
Vậy ta có điều phải chứng minh
dấu bằng xảy ra khi : \(\frac{ab}{a^2-ab+b^2}=\frac{a^2-ab+b^2}{ab}\Leftrightarrow a=b\)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc=a+b+c+2. Chứng minh rằng ab+bc+ca ≥ 2(a+b+c)
30 tháng 12 2020 lúc 21:24
Câu 1: Chứng minh frac{1}{1.2}+frac{1}{2.3}+frac{1}{3.4}+...+frac{1}{(n-1)n} với ∀n∈N^*Câu 2: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: frac{a^4+b^4+c^4}{a+b+c}geq abc.Câu 3: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca3. Chứng minh rằng: sqrt{a^6+b^6+1}+sqrt{b^6+c^6+1}+sqrt{c^6+a^6+1}geq 3sqrt{3}Câu 4: Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn a+b+c3.Chứng minh rằng: a^3+b^3+c^3geq 3Câu 5: Với a,b,c0 thỏa mãn điều kiện frac{a}{b}+frac{b}{c}+frac{c}{a}1. Chứng minh rằng: sqrtfrac{b}{a}+sqr...
Đọc tiếp
Câu 1: Chứng minh \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{(n-1)n}\) với ∀n∈\(N^*\)
Câu 2: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: \(\frac{a^4+b^4+c^4}{a+b+c}\geq abc\).
Câu 3: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn \(ab+bc+ca=3\). Chứng minh rằng: \(\sqrt{a^6+b^6+1}+\sqrt{b^6+c^6+1}+\sqrt{c^6+a^6+1}\geq 3\sqrt{3}\)
Câu 4: Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn \(a+b+c=3\).Chứng minh rằng: \(a^3+b^3+c^3\geq 3\)
Câu 5: Với \(a,b,c>0\) thỏa mãn điều kiện \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=1\). Chứng minh rằng: \(\sqrt\frac{b}{a}+\sqrt\frac{c}{b}+\sqrt\frac{a}{c}\leq 1\)
1. Đề thiếu
2. BĐT cần chứng minh tương đương:
\(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)
Ta có:
\(a^4+b^4+c^4\ge\dfrac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\dfrac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)^2\ge\dfrac{1}{3}.3abc\left(a+b+c\right)\) (đpcm)
3.
Ta có:
\(\left(a^6+b^6+1\right)\left(1+1+1\right)\ge\left(a^3+b^3+1\right)^2\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+1+b^3+c^3+1+c^3+a^3+1\right)\)
\(VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
Lại có:
\(a^3+b^3+1\ge3ab\) ; \(b^3+c^3+1\ge3bc\) ; \(c^3+a^3+1\ge3ca\)
\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3\ge3\left(ab+bc+ca\right)=9\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)
\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{6}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\)
Đúng 2
Bình luận (1)
4.
Ta có:
\(a^3+1+1\ge3a\) ; \(b^3+1+1\ge3b\) ; \(c^3+1+1\ge3c\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+6\ge3\left(a+b+c\right)=9\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)
5.
Ta có:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{c}}\) ; \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{b}}\) ; \(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{a}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{c}{b}}+\sqrt{\dfrac{a}{c}}\le\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=1\)
Đúng 1
Bình luận (0)
Câu 1:
\(VT=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\)
\(VT=1-\dfrac{1}{n}< 1\) (đpcm)
Đúng 1
Bình luận (0)
cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh (a+b)/(bc+a^2) + (b+c)/(ac+b^2) + (c+a)/(ab+c^2) <=1/a+1/b+1/c
Cho a,b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Chứng minh: \(a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}\ge2\left(ab+bc+ac\right)\)
Bai này quen quen ! Mình còn ghi trong vở nè !
Chứng minh:
Áp dụng bất đẳng thức Schur ta có :
\(\left(a+b+c\right)^3+9abc\ge4\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2+\frac{9abc}{a+b+c}\ge4\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)+\frac{9abc}{a+b+c}\ge4\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}\ge2\left(ab+bc+ac\right)\left(đpcm\right)\)
Cho a,b là các số thực dương. Chứng minh: a2 + b2 +1 >= ab + a + b
Cho a, b là 2 số thực dương. Chứng minh rằng ( 1 + a ) ( 1 + b ) ≥ 1 + a b
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
( 1 + a ) ( 1 + b ) ≥ 1 + a b 2 ⇔ 1 + a + b + a b ≥ 1 + 2 a b + a b ⇔ a + b − 2 a b ≥ 0 ⇔ a - b 2 ≥ 0
(luôn đúng với mọi a, b > 0)
Đúng 0
Bình luận (0)