S = 1 + 5 + 5^2 + 5^3 + ... + 5^2015.

S = (1 + 5 + 5^2 + 5^3) + (5^4 + 5^5 + 5^6 + 5^7) + .. + (5^2012 + 5^2013 + 5^2014 + 5^2015).

S = (1 + 5 + 5^2 + 5^3) + 5^4(1 + 5 + 5^2 + 5^3) + ... + 5^2012(1 + 5 + 5^2 + 5^3).

S = 156 + 5^4.156 + ... + 5^2012.156.

S= 156.(1 + 5^4 + ... + 5^2012).

Vì 156 chia hết cho 13 => 156.(1 + 5^4 + ... + 5^2012) chia hết cho 13 => S chia hết cho 13.

S có 2016 số hạng chia thành 1008 nhóm mỗi nhóm có 2 số hạng 

S=(1+5²)+(5+5³)+...+(5²⁰¹³+5²⁰¹⁵)

S=26+5(1+5²)+...+5²⁰¹³(1+5²)

S=2.13+5.2.13+...+5²⁰¹³.2.13

S=13.(2+5.2+...+5²⁰¹³.2) chia hết cho 13 

=> S chia hết cho 13

Ta có : S=3+3^3+3^5+3^7+.....+3^2013+3^2015

             = ( 3 + 3^3 + 3^5 ) + ( 3^7 + 3^9 + 3^11)+.....+( 3^2011 + 3^2013 + 3^2015)

             = 3.(1+3^2+3^4)+3^7.(1+3^2+3^4)+.....+3^2011.(1+3^2+3^4)

             = 3.91+3^7.91+......+3^2011.91

             = (3+3^7+.....+3^2011).91

Vì 91 chia hết cho 13 => (3+3^7+.....+3^2011).91 chia hết cho 13

Vậy S chia hết cho 13

mơn mơn

kb mik vs

Lời giải:

Ta có: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)\vdots a+b$. Áp dụng vào bài toán:

$1^3+2015^3\vdots 1+2015\vdots 6$

$2^3+2014^3\vdots 2+2014\vdots 6$

........

$1007^3+1009^3\vdots 1007+1009\vdots 6$

$1008^3\vdots 6$

$\Rightarrow 1^3+2^3+3^3+...+1007^3+1008^3+1009^3+...+2015^3\vdots 6$

Có: 3(1+3)+3^3(1+3)+.....+3^59(1+3)

     =3.4+3^3.4+.....+3^59.4

=>S : hết cho 4

Có: 3(1+3+9)+3^4(1+3+9)+.....+3^58(1+3+9)

     =3.13+3^4.13+.....+3^58.13

=>S : hết cho 13

tick cho mình đi !

B = (1 + 3) + (3²+3³)+.....+(3⁸⁹+3⁹⁰)

  = 4 + 3² .(1 + 3) + .....+3⁹⁰.(1+3)

 = 1 .4 + 3².4 + ..... +3⁹⁰.4

= 4.(1 + 3² + .... +3⁹⁰) chia hết cho 4

\(S=3+3^2+3^3+3^4+....+3^{89}+3^{90}\)

\(=\left(3+3^2+3^3\right)+\left(3^4+3^5+3^6\right)+...+\left(3^{88}+3^{89}+3^{90}\right)\)

\(==3\left(1+3+3^2\right)+3^4\left(1+3+3^2\right)+3^{88}\left(1+3+3^2\right)\)

\(=\left(1+3+3^2\right).\left(3+3^4+....+3^{88}\right)\)

\(=13\left(3+3^4+...+3^{88}\right)\)\(⋮\)\(13\)

\(S=\left(1+3+3^2+3^3\right)+\left(3^4+3^5+3^6+3^7\right)+...+\left(3^{2012}+3^{2013}+3^{2014}+3^{2015}\right)\)

\(=\left(1+3+9+27\right)+3^4.\left(1+3+3^2+3^3\right)+...+3^{2012}.\left(1+3+3^2+3^3\right)\)

\(=40+3^4.40+...+3^{2012}.40\)

\(=40.\left(1+3^4+...+3^{2012}\right)\)

\(=10.4.\left(1+3^4+...+3^{2012}\right)\text{ chia hết cho 10}\)

=> S chia hết cho 10 (đpcm).

chtt

S=(1+3+3^2)+(3^3+3^4+3^5)+...+(3^2013+3^2014+3^2015)

S=10+3^3(1+3+6)+...+3^2013(1+3+6)

S=10+3^3.10+...+3^2013.10

S=10(3^3+...+3^2013)

Vì tích trên có thừa số 10 mà 10 chia hết cho 10 nên S chia hết cho 10