\(ac+bd=\left(b+d+a-c\right)\left(b+d-a+c\right)\)

\(\Leftrightarrow ac+bd=\left(b+d\right)^2-\left(a-c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow ac+bd=b^2+d^2+2bd-a^2-c^2+2ac\)

\(\Leftrightarrow a^2-c^2=b^2+d^2+ac+bd\) (1)

Ta có

\(\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)=a^2bd+ab^2c+acd^2+bc^2d=\)

\(=bd\left(a^2+c^2\right)+ac\left(b^2+d^2\right)\) (2)

Thay (1) vào (2)

\(\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)=bd\left(b^2+d^2+ac+bd\right)+ac\left(b^2+d^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)=bd\left(b^2+d^2\right)+bd\left(ac+bd\right)+ac\left(b^2+d^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)=\left(b^2+d^2\right)\left(ac+bd\right)+bd\left(ac+bd\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)=\left(ac+bd\right)\left(b^2+d^2+bd\right)\) (3)

Do \(a>b>c>d\)

\(\Rightarrow\left(a-d\right)\left(b-c\right)>0\Leftrightarrow ab-ac-bd+cd>0\)

\(\Leftrightarrow ab+cd>ac+bd\) (4)

Và 

\(\left(a-b\right)\left(c-d\right)>0\Leftrightarrow ac-ad-bc+bd>0\)

\(\Leftrightarrow ac+bd>ad+bc\) (5)

Từ (4) và (5) \(\Rightarrow ab+cd>ad+bc\) 

Ta có

(3)\(\Leftrightarrow b^2+d^2+bd=\dfrac{\left(ab+cd\right)\left(ad+bc\right)}{\left(ac+bd\right)}\) (6)

Vế trái là số nguyên => vế phải cũng phải là số nguyên

Giả sử ab+cd là số nguyên tố mà \(ab+cd>ac+bd\)

\(\Rightarrow UC\left(ab+cd;ac+bd\right)=1\) => ab+cd không chia hết cho ac+bd

=> để vế phải của (6) là số nguyên \(\Rightarrow ad+bc⋮ac+bd\Rightarrow ad+bc>ac+bd\) Mâu thuẫn với (5) nên giả sử sai => ab+cd không thể là số nguyên tố

mình là người mới ,cho mình hỏi làm sao để kiếm xu đổi quà

Gỉa sử ab+1=n² (n thuộc N)
Cho c=a+b+2n.Ta có:
* ac+1=a(a+b+2n)+1
          =a²+2na+ab+1=a²+2na+n²=(a+n)²
* bc +1=b(a+b+2n)+1=b²+2nb+ab+1
           =b²+2nb+n²=(b+n)²
Vậy ac+1 và bc+1 đều là số chính phương.

Please help me!