Bài 3:

a, Đặt \(A=\left|2x-\frac{1}{5}\right|+2017\)

Để A đạt GTNN thì \(\left|2x-\frac{1}{5}\right|\)đạt GTNN

Mà \(\left|2x-\frac{1}{5}\right|\ge0\)

Do đó \(\left|2x-\frac{1}{5}\right|=0\)thì A đạt GTNN tức là A = 0 + 2017 = 2017 khi

\(2x-\frac{1}{5}=0=>2x=0+\frac{1}{5}=\frac{1}{5}=>x=\frac{1}{5}.\frac{1}{2}=\frac{1}{10}\)

b, Đặt \(B=\left|x+\frac{1}{2}\right|+\left|x+\frac{1}{3}\right|+\left|x+\frac{1}{4}\right|\)

Ta thấy \(\frac{1}{2}>\frac{1}{3}>\frac{1}{4}=>x+\frac{1}{2}>x+\frac{1}{3}>x+\frac{1}{4}\)

Do đó để B đạt GTNN thì \(x+\frac{1}{2}\)đạt GTNN

mà \(x+\frac{1}{2}\ge0\)

Từ 2 điều trên => \(x+\frac{1}{2}=0=>x=-\frac{1}{2}\)

Khi đó \(x+\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=-\frac{1}{6}\)

và \(x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}\)

Vậy GTNN của \(B=\left|0\right|+\left|-\frac{1}{6}\right|+\left|-\frac{1}{4}\right|=0+\frac{1}{6}+\frac{1}{4}=\frac{10}{24}\)khi x = -1/2

Phần b này thì mình không chắc lắm bạn tự xem lại nhé

Bài 1: 

\(M=\frac{2017}{11-x}\)đạt GTLN <=> 11 - x đạt GTNN và 11 - x > 0 (nếu không thì M đạt giá trị âm (vô lí))

=> 11 - x = 1

=> x = 10

Vậy x = 10 thì M đạt GTLN tức là bằng \(\frac{2017}{1}=2017\)

Bài 2

a, Đặt \(A=-2\left|x-\frac{3}{4}\right|-\left|y+\frac{3}{4}\right|+\frac{5}{6}\)

Để A đạt GTLN <=> \(-2\left|x-\frac{3}{4}\right|\)đạt GTLN và \(\left|y+\frac{3}{4}\right|\)đạt GTNN

mà \(\left|x-\frac{3}{4}\right|\ge0=>-2\left|x-\frac{3}{4}\right|\le0\)

và \(\left|y+\frac{3}{4}\right|\ge0\)

Do đó \(-2\left|x-\frac{3}{4}\right|=0\)và \(\left|y+\frac{3}{4}\right|=0\)

Vậy GTLN của A = 0 - 0 + 5/6 = 5/6 khi

\(\left|x-\frac{3}{4}\right|=0=>x-\frac{3}{4}=0=>x=\frac{3}{4}\)

Và \(\left|y+\frac{3}{4}\right|=0=>y+\frac{3}{4}=0=>y=-\frac{3}{4}\)

b, Đặt \(B=-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{7}\)

Để B đạt GTLN thì \(-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\)đạt GTLN

Mà \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0=>-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\le0\)

Do đó để B đạt GTLN thì \(-\left(x+\frac{1}{2}\right)^2=0\)

Khi đó GTLN của B = 0 + 5/7 = 5/7 khi

\(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2=0=>x+\frac{1}{2}=0=>x=-\frac{1}{2}\)

Theo BĐT AM - GM cho 3 số dương, ta có: \(\left(3x+1\right)\left(y+z\right)+x=3xy+3zx+x+y+z\)

\(\ge3xy+3zx+3\sqrt[3]{xyz}=3zx+3xy+3=3\left(zx+xy+1\right)\)(Do xyz = 1)

\(\Rightarrow\frac{1}{\left(3x+1\right)\left(y+z\right)+x}\le\frac{1}{3\left(zx+xy+1\right)}\)(1)

Tương tự ta có: \(\frac{1}{\left(3y+1\right)\left(z+x\right)+y}\le\frac{1}{3\left(xy+yz+1\right)}\)(2); \(\frac{1}{\left(3z+1\right)\left(x+y\right)+z}\le\frac{1}{3\left(yz+zx+1\right)}\)(3)

Cộng theo từng vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được:  \(P\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{xy+yz+1}+\frac{1}{yz+zx+1}+\frac{1}{zx+xy+1}\right)\)

Ta có BĐT: \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

Thật vậy, với a, b dương thì (*)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow a^2-ab+b^2\ge ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)

Áp dụng BĐT trên và sử dụng giả thiết xyz = 1, ta được: \(\frac{1}{xy+yz+1}=\frac{\sqrt[3]{xyz}}{y\left(z+x\right)+\sqrt[3]{xyz}}\)

\(=\frac{\sqrt[3]{xyz}}{y\left[\left(\sqrt[3]{z}\right)^3+\left(\sqrt[3]{x}\right)^3\right]+\sqrt[3]{xyz}}\le\frac{\sqrt[3]{xyz}}{y\sqrt[3]{zx}\left(\sqrt[3]{z}+\sqrt[3]{x}\right)+\sqrt[3]{xyz}}\)

\(=\frac{\sqrt[3]{xyz}}{\sqrt[3]{y^3zx}\left(\sqrt[3]{z}+\sqrt[3]{x}\right)+\sqrt[3]{xyz}}=\frac{\sqrt[3]{xyz}}{\sqrt[3]{y^2}\left(\sqrt[3]{z}+\sqrt[3]{x}\right)+\sqrt[3]{xyz}}\)

\(=\frac{\sqrt[3]{zx}}{\sqrt[3]{y}\left(\sqrt[3]{z}+\sqrt[3]{x}\right)+\sqrt[3]{zx}}=\frac{\sqrt[3]{zx}}{\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{yz}+\sqrt[3]{zx}}\)(*)

Tương tự: \(\frac{1}{yz+zx+1}\le\frac{\sqrt[3]{xy}}{\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{yz}+\sqrt[3]{zx}}\)(**); \(\frac{1}{zx+xy+1}\le\frac{\sqrt[3]{yz}}{\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{yz}+\sqrt[3]{zx}}\)(***)

Cộng theo từng vế của 3 BĐT (*), (**), (***), ta được: \(\frac{1}{xy+yz+1}+\frac{1}{yz+zx+1}+\frac{1}{zx+xy+1}\le\frac{\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{yz}+\sqrt[3]{zx}}{\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{yz}+\sqrt[3]{zx}}=1\)

\(\Rightarrow P\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{xy+yz+1}+\frac{1}{yz+zx+1}+\frac{1}{zx+xy+1}\right)\le\frac{1}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

https://h.vn//hoi-dap/question/873191.html

https://h.vn/hoi-dap/question/873191.html

\(A=\frac{2\left|x+5\right|+11}{\left|x+5\right|+4}=\frac{2\left|x+5\right|+8+3}{\left|x+5\right|+4}=2+\frac{3}{\left|x+5\right|+4}\)

Ta có : \(\left|x+5\right|+4\ge4\Rightarrow\frac{3}{\left|x+5\right|+4}\le\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow A=2+\frac{3}{\left|x+5\right|+4}\le2+\frac{3}{4}=\frac{11}{4}\)

Dấu ''='' xảy ra khi x = -5

Vậy GTLN của A bằng 11/4 tại x = -5

tks, cảm ơn nhìu ak

a) \(ĐKXĐ:\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne1\end{cases}}\)

\(P=\left(\frac{\sqrt{x}-2}{x-1}-\frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}\right).\left(\frac{1-x}{\sqrt{2}}\right)^2\)

\(=\left[\frac{\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\frac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\right].\frac{\left(1-x\right)^2}{2}\)

\(=\left[\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}-\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\right].\frac{\left(x-1\right)^2}{2}\)

\(=\left[\frac{x-\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}-\frac{x+\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\right].\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2.\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{2}\)

\(=\frac{x-\sqrt{x}-2-x-\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}.\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2.\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{2}\)

\(=\frac{-2\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}-1\right)}{2}=-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)=-x+\sqrt{x}\)

b) Với \(0< x< 1\)\(\Rightarrow0< \sqrt{x}< 1\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}-1< 0\)

mà \(\sqrt{x}>0\)\(\Rightarrow\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}-1\right)< 0\)

\(\Rightarrow-\sqrt{x}.\left(\sqrt{x}-1\right)>0\)\(\Rightarrow P>0\)( đpcm )

c) \(P=-x+\sqrt{x}=-x+\sqrt{x}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\)

\(=-\left(x-\sqrt{x}+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{4}=-\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\)

Vì \(\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)\(\Rightarrow-\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2\le0\)

\(\Rightarrow-\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{4}\le\frac{1}{4}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\sqrt{x}-\frac{1}{2}=0\)\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\frac{1}{2}\)\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\)( thỏa mãn ĐKXĐ )

Vậy \(maxP=\frac{1}{4}\)\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\)

ĐKXĐ \(\hept{\begin{cases}x\ne1\\x\ge0\end{cases}}\)

a,  Ta có \(P=\left(\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(\sqrt{x}-1\right)}\right).\left(\frac{\left(1-\sqrt{x}\right).\left(1+\sqrt{x}\right)}{\sqrt{2}}\right)^2\)

               \(P=\left(\frac{x-\sqrt{x}-2-x-\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(\sqrt{x}-1\right)}\right).\left(\frac{\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}\right)}{\sqrt{2}}\right)^2\)

              \(P=\left(\frac{-2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+1\right)^2\left(\sqrt{x}-1\right)}\right).\left(\frac{\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}\right)}{\sqrt{2}}\right)^2\)

             \(P=\frac{2\sqrt{x}-2x}{\sqrt{2}}\)

             \(P=\sqrt{2x}-\sqrt{2}x\)

             \(P=\sqrt{2x}\left(1-\sqrt{x}\right)\)

b,        Vì \(0< x< 1\Rightarrow\sqrt{x}< 1\Rightarrow1-\sqrt{x}< 1\)

                 \(\Rightarrow\sqrt{2x}\left(1-\sqrt{x}\right)>0\)

 c,        Ta có \(P=-\sqrt{2}\left(x-\sqrt{x}\right)\)  

                      \(P=-\sqrt{2}\left(x-\frac{1}{2}.2.\sqrt{x}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right)\)

                      \(P=-\sqrt{2x}\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{\sqrt{8}}\le\frac{1}{\sqrt{8}}\)

               Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{x}-\frac{1}{2}=0\)

                                      \(\Rightarrow x=\frac{1}{4}\)

             vậy GTLN của P là \(\frac{1}{\sqrt{8}}\)với x=\(\frac{1}{4}\)

Ta có: l x+1l lớn hơn hoặc bằng 0, với mọi x

          l 2y -3l lớn hơn hoặc bằng 0, với mọi y

=> l x+1l + l 2y-3l lớn hơn hoặc bằng 0, với mọi x,y

=> l x+1l + l 2y-3l + 5 lớn hơn hoặc bằng 5

=> 1/ lx+1l + l2y-3l + 5 bé hơn hoặc bằng 1/5

=> 20/ lx+1l + l2y-3l+5 bé hơn hoặc bằng 20/5 = 4

Vậy max Q = 4

Dẫu "=" xảy ra <=> x = -1 ; y = 3/2

Chúc bạn học tốt!

Ta có: l x+1l lớn hơn hoặc bằng 0, với mọi x

          l 2y -3l lớn hơn hoặc bằng 0, với mọi y

=> l x+1l + l 2y-3l lớn hơn hoặc bằng 0, với mọi x,y

=> l x+1l + l 2y-3l + 5 lớn hơn hoặc bằng 5

=> 1/ lx+1l + l2y-3l + 5 bé hơn hoặc bằng 1/5

=> 20/ lx+1l + l2y-3l+5 bé hơn hoặc bằng 20/5 = 4

Vậy max Q = 4

Dẫu "=" xảy ra <=> x = -1 ; y = 3/2