cho tam giác ABC có 3 góc nhọn . các dường cao AD,BE và CF cắt nhau tại H
Chứng minh \(\frac{AH}{BC}+\frac{BH}{AC}+\frac{CH}{AB}>=\sqrt{3}\)
cho tam giác ABC có 3 góc nhọn . các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H
chứng minh rằng \(\frac{AH}{BC}+\frac{BH}{AC}+\frac{CH}{AB}>=\sqrt{3}\)
Cho ABC có ba góc nhọn với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. CMR: \(\frac{AH}{BC}+\frac{BH}{AC}+\frac{CH}{AB}\ge\sqrt{3}\)
Date cái hình ra đây đã, bài này "dễ" không ấy mà:))
Bài làm:
Ta có:
\(S_{AHB}=\frac{1}{2}\cdot AH\cdot BD\) , mà \(\sin\widehat{BHD}\cdot BH=\frac{BD}{BH}\cdot BH=BD\)
=> \(S_{AHB}=\frac{1}{2}\cdot AH\cdot BH\cdot\sin\widehat{BHD}\left(1\right)\)
\(S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BE\) , mà \(\sin\widehat{ECB}\cdot BC=\frac{BE}{BC}\cdot BC=BE\)
=> \(S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC\cdot\sin\widehat{ECB}\left(2\right)\)
Dễ dàng CM được: Δ BDH ~ Δ BEC (g.g) => \(\widehat{BHD}=\widehat{ECB}\Rightarrow\sin\widehat{BHD}=\sin\widehat{ECB}\)
Chia vế (1) cho (2) ta được:
=> \(\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}=\frac{AH\cdot BH}{BC\cdot AC}=\frac{AH}{BC}\cdot\frac{BH}{AC}\)
Tương tự ta CM được: \(\frac{S_{CHA}}{S_{ABC}}=\frac{CH}{AB}\cdot\frac{AH}{BC}\) và \(\frac{S_{BHC}}{S_{ABC}}=\frac{BH}{AC}\cdot\frac{CH}{AB}\)
Cộng vế 3 BĐT trên lại ta được: \(\frac{S_{AHB}+S_{AHC}+S_{BHC}}{S_{ABC}}=\frac{AH}{BC}\cdot\frac{BH}{CA}+\frac{AH}{BC}\cdot\frac{CH}{AB}+\frac{BH}{AC}\cdot\frac{CH}{AB}\)
=> \(\frac{AH}{BC}\cdot\frac{BH}{CA}+\frac{AH}{BC}\cdot\frac{CH}{AB}+\frac{BH}{AC}\cdot\frac{CH}{AB}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)
Tiếp theo ta CM bất đẳng thức phụ: \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\) (nhân 2 vào cả 2 vế)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\left(\forall a,b,c\right)\) luôn đúng
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)
Từ đó ta áp dụng vào CM bài toán:
\(\left(\frac{AH}{BC}+\frac{BH}{CA}+\frac{CH}{AB}\right)^2\ge3\left(\frac{AH}{BC}\cdot\frac{BH}{CA}+\frac{AH}{BC}\cdot\frac{CH}{AB}+\frac{BH}{CA}\cdot\frac{CH}{AB}\right)=3\cdot1=3\)
\(\Rightarrow\frac{AH}{BC}+\frac{BH}{CA}+\frac{CH}{AB}\ge\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\frac{AH}{BC}=\frac{BH}{CA}=\frac{CH}{AB}\Rightarrow AH=BH=CH\)
=> Tam giác ABC đều
Cho tam giác ABC nhọn có: 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H
Chứng minh: \(\frac{AH}{AD}+\frac{BH}{BE}+\frac{CH}{CF}\) không đổi
Cho tam giác ABC nhọn các đường cao AD , BE , CR cắt nhau tại H . Chứng minh :
a) BH . BE + CH.CF = BC2
b) AH . AD +BH . BE +CH . CF = \(\frac{AB^2+AC^2+BC^2}{2}\)
a) Xét 2 tam giác vuông DHC và FBC có: ^HCD chung => \(\Delta DHC~\Delta FBC\)
=> \(\frac{CD}{CF}=\frac{CH}{BC}\) => \(CH.CF=BC.CD\) (1)
tương tự với 2 tam giác vuông DBH và EBC có: ^EBC chung => \(\Delta DBH~\Delta EBC\)
=> \(\frac{BD}{BE}=\frac{BH}{BC}\) => \(BH.BE=BC.BD\) (2)
(1) và (2) => \(CH.CF+BH.BE=BC\left(BD+CD\right)=BC^2\)
b) CM tương tự câu a), ta cũng có: \(AH.AD+BH.BE=AB^2;AH.AD+CH.CF=AC^2\)
cộng lại ta có đpcm
cho tam giác ABC có 3 góc nhọn . các đường cao AD,BE,CF cắt nha cho u tại H
chứng minh rằng AH: BC+ BH: AC+ CH: AB lớn hơn căn 3
Bài 1 : Cho tam giác ABC có 3 đường trung tuyến AD , BE , CF cắt nhau tại G . Chứng minh rằng
\(a, \frac {AB+AC}{2}\)
\(b,BE+CF < \frac{3}{2}BC\)
\(c, \frac{3}{4}(AB+BC+AC)<AD+BE+CF<AB+BC+AC\)
Bài 2 : Cho tam giác ABC , tia phân giác góc B , C cắt nhau tại O . Từ A vẽ một đường thẳng vuông góc với OA , cắt OB , OC tại M,N . Chứng minh : BM vuông góc với BN . CM vuông góc với CN
Bài 3 . Cho tam giác ABC , góc B = 450 , đường cao AH , phân giác BD của tam giác ABC , biết góc BDA = 450 . Chứng minh HD//AB
Bài 4 . Cho tam giác ABC không vuông , các đường trung trực của AB , AC cắt nhau tại O , cắt BC theo thứ tự M,N . Chứng minh AO là phân giác của góc MAN .
Bài 5 : Cho tam giác ABC nhọn , đường cao BD , CE cắt nhau tại H . Lấy K sao cho AB là trung trực của HK . Chứng minh góc KAB = góc KCB
cho tam giác ABC, D thuộc BC , E thuộc AC, F thuộc AB ; AD,BE,CF là 3 đường cao cắt nhau tại H. Chứng minh: a)\(\frac{AH}{AD}+\frac{BH}{BE}+\frac{CH}{CF}=2\)
b)\(\frac{AH}{HD}+\frac{BH}{HE}+\frac{CH}{HF}\ge6\)
MIK CẦN GẤP
Cjo tam giác nhọn ABC có đường cao AH, BE và CF cắt nhau tại H.
Tính \(\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}\) VÀ \(\frac{AH}{AD}+\frac{BH}{BE}+\frac{CH}{CF}\)
Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H
Tính \(\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}\)VÀ \(\frac{AH}{AD}+\frac{BH}{BE}+\frac{CH}{CF}\)