Cho hình vuông ABCD. Gọi I là điểm nằm giữa A và B. Gọi M và N là các điểm đối xứng vối I qua AC và BD. Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với MN tại H. Chứng minh rằng khi I thay đổi trên AB thì đường thẳng IH luôn đi qua một điểm cố định

Cho hình vuông ABCD có góc B = góc D= 90 độ và AB=AD. Trên cạnh BC lấy điểm M và trên cạnh CD lấy điểm N sao cho AM vuông góc BN. Gọi H là giao điểm thẳng AM và BN; gọi K là giao điểm của đoạn thẳng AN và BM. Chứng minh rằng AH.AM=AK.AN

Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng:

Tổng  1 D I 2 + 1 D K 2  không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.

Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng:

a) Tam giác DIL là một tam giác cân

b) Tổng

1 DI 2 + 1 DK 2

không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.

Cho đường tròn tâm O đường kính MN, dây cung AB vuông góc với MN tại điểm I nằm giữa O, N. Gọi K là một điểm thuộc dây AB nằm giữa A, I. Các tia MK, NK cắt đường tròn tâm O theo thứ tự tại C,D. Gọi E, F, H lần lượt là hình chiếu của C trên các đường thẳng AD, AB, BD. Chứng minh rằng:

a) AC.HF = AD.CF

b) F là trung điểm của EH

c) Hai đường thẳng DC và DI đối xứng nhau qua đường thẳng DN.

Cho tam giác ABC ( AB=AC ). Trên cạnh BC lấy điểm D trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD=CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC lần lượt ở M và N. Gọi I là giao điểm của MN và BE

a. Biết AB<BC. Chứng minh: góc A>60 độ

b. Chứng minh IM=IN

c. Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua 1 điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC.

1, Cho tứ giác ABCD, các đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Các cạnh AD, BC kéo dài cắt nhau tại E. Biết AC vuông góc AD và BD vuông góc BC. Chứng minh rằng đường thẳng d đi qua các trung điểm OE và CD là trục đối xứng của cạnh AB

2, Cho 2 điểm A, B nằm trên nửa mặt bờ là đường thẳng d. Gọi AH, BK là các đường vuông góc kẻ từ A, B đến d. Gọi C là điểm nằm bất kì giữa H và K, A' đối xứng với A qua d, Giả sử góc ACH = góc BCK

  a, Chứng minh rằng kí đó A' , C , B thẳng hàng

  b, Nêu cách dựng điểm C sao cho AC + BC bé nhất

3, Cho tam giác ABC. Dựng hình đối xứng với tam giác đã cho qua trung điểm D của cạnh BC

  a, Tứ giác tạo thành là hình gì

  b, Tính chu vi tứ giác đó biết AB = 10cm, AC = 7cm

4, Cho hình bình hành với E, F lần lượt là trung điểm của AD, BC; G thuộc đoạn AB. Gọi H và I lần lượt là điểm đối xứng của G qua E và F

  a, Chứng minh H, D, C, I thẳng hàng

  b, Chưng minh HI = 2CD