n=5,4,7

Để thỏa mãn đề bài thì 7n+13 phải chia hết cho n+1 và 3n+1

Trước hết ta xét:\(7n+13⋮n+1\Rightarrow\left(7n+7\right)+6⋮n+1\Rightarrow7\left(n+1\right)+6⋮n+1\Rightarrow6⋮n+1\)

Mà \(n\inℕ^∗\Rightarrow n+1\inℕ^∗\)

\(\Rightarrow n+1\in\left\{2;3;6\right\}\Rightarrow n\in\left\{1;2;5\right\}\)

Lần lượt thay các giá trị của n vào 7n+13 và 3n+1 xem 7n+13 có chia hết cho 3n+1 không

Sau khi thử thì còn các giá trị n là 1;5 thỏa mãn

Vậy n=1 hoặc n=5

Để 7n +13 là mẫu số chung của \(\frac{n}{n+1}và\frac{3}{3n+1}\) thì 7n+13 phải chia hết cho n+1 và 3n+1

*Xét 7n+13\(⋮\)n+1(1)

+)Ta có:n+1\(⋮\)n+1

=>7.(n+1)\(⋮\)n+1

=>7n+7\(⋮\)n+1(2)

+)Từ (1) và (2)

=>(7n+13)-(7n+7)\(⋮\)n+1

=>7n+13-7n-7\(⋮\)n+1

=>6\(⋮\)n+1

=>n+1\(\in\)Ư(6)={\(\pm\)1;\(\pm\)2;\(\pm\)3}

=>n\(\in\){-2\(\notin\)N*;0\(\notin\)N*;-3\(\notin\)N*;1\(\in\)N*;-4\(\notin\)N*;2\(\in\)N*}

=>n\(\in\){1;2}(*)

*Xét 7n+13\(⋮\)3n+1

      =>3.(7n+13)\(⋮\)3n+1

      =>21n+39\(⋮\)3n+1(3)

+)Ta có:3n+1\(⋮\)3n+1

        =>7.(3n+1)\(⋮\)3n+1

        =>21n+7\(⋮\)3n+1(4)

+)Từ (3) và (4)

=>(21n+39)-(21n+7)\(⋮\)3n+1

=>21n+39-21n-7\(⋮\)3n+1

=>32\(⋮\)3n+1

=>3n+1\(\in\)Ư(32)={\(\pm\)1;\(\pm\)2;\(\pm\)4;\(\pm\)8;\(\pm\)16;\(\pm\)32}

+)Ta có bảng:

=>n\(\in\){1;5}(**)

+)Từ (*) và (**)

=>n=1

Vậy n=1

Chúc bn học tốt

THANKS CÁC BN NHA

phần b tham khảo ở đây nhé :
Câu hỏi của Nguyễn Sĩ Hải Nguyên - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath

( https://olm.vn/hoi-dap/detail/45713562308.html)

Câu b:

                                                                Giải:

Ta có: 4n-5 = 2(2n-1)-5 chia hết 2n-1

                   mà 2(2n-1) chia hết cho 2n-1

Suy ra 5 cũng sẽ chia hết cho 2n-1 => 2n-1 thuộc Ư(5)

=> Ta có bảng sau

Vậy n e { 3;1 }

\(a,\)                                                           \(\text{Bài giải}\)

                 \(\frac{n^2+1}{n-1}=\frac{n\left(n-1\right)+n+1}{n-1}=\frac{n\left(n-1\right)}{n-1}+\frac{n-1+2}{n-1}=n+\frac{n-1}{n-1}+\frac{2}{n-1}=n+1+\frac{2}{n-1}\)

\(n^2+1\text{ }⋮\text{ }n-1\text{ khi }2\text{ }⋮\text{ }n-1\)

\(\Leftrightarrow\text{ }n-1\inƯ\left(2\right)=\left\{\pm1\text{ ; }\pm2\right\}\)

\(\Rightarrow\text{ }n\in\left\{0\text{ ; }2\text{ ; }-1\text{ ; }3\right\}\)

Chọn đáp án D

Vậy số tự nhiên n nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên là  n 0 = 201

Xét các trường hợp:

\(n=1\Leftrightarrow1!=1=1^2\) là số chính phương 

\(n=2\Leftrightarrow1!+2!=3\) không phải là số chính phương

\(n=3\Leftrightarrow1!+2!+3!=9=3^3\) là số chính phương 

\(n\ge4\Leftrightarrow1!+2!+3!+4!=33\) còn \(5!,6!,7!,...,n!\) đều có tận cùng là \(0\Rightarrow1!+2!+3!+...+n!\) có tận cùng là chữ số 3 nên không phải là số chính phương

Vậy \(n\in\left\{1;3\right\}\).