cho S = 1+3+3²+ 3^{3 +} 3⁴ + .......+ 3⁹⁹

Tổng S có tổng cộng 100 số hạng

S = 1+3+3²+ 3^{3 +} 3⁴ + .......+ 3⁹⁹ 

= (1+3) +(3²+ 3³) + (3⁴ +3⁵) .......(3⁸⁸+ 3⁹⁹ )  có 50 nhóm

= 4 + 3².(1+3)+3⁴(1+3)+........+3⁸⁸(1+3)

= 4+ 3².4+3⁴.4+........+3⁸⁸.4

= 4 (1+ 3²+3⁴+........+3⁸⁸) chia hết cho 4

b)

= (1+3 + 3²+ 3³) + (3⁴ +3⁵+3⁶+3⁷) .......(3⁸⁶+3⁸⁷+3⁸⁸+ 3⁹⁹ )  có 100:4 = 25 nhóm

=  (1+3 + 3²+ 3³) + 3⁴.(1+3 + 3²+ 3³) .......3⁸⁶.(1+3 + 3²+ 3³) 

=  40+ 3⁴.40 .......3⁸⁶.40

= 40 ( 1 +3⁴+ 3⁸+....+3⁸⁶) chia hết cho 40

= 4+ 3².4+3⁴.4+........+3⁸⁸.4

= 4 (1+ 3²+3⁴+........+3⁸⁸) chia hết cho 4

Ta có \(S=1+3^2+3^4+...+3^{98}\Rightarrow3^2.S=3^2+3^4+3^6+...+3^{100}\)

\(=\left(S-1\right)+3^{100}\)

\(\Rightarrow9S=S+3^{100}-1\Rightarrow S=\frac{3^{100}-1}{8}.\)

Ta thấy \(S=1+3^2+3^4+...+3^{98}=\left(1+3^{98}\right)+\left(3^2+3^4\right)+...+\left(3^{94}+3^{96}\right)\)

Vì 3¹ có tận cùng là 3; 3² có tận cùng là 9; 3³ có tận cùng là 7, 3⁴ có tận cùng là 1 nên 3^4k+2 có tận cùng là 9; 3^4k có tận cùng là 1. Vậy thì 1+3⁹⁸ có tận cùng là 0, tương tự 3² + 3⁴ cũng có tận cùng là 0;...

Tóm lại S có tận cùng là 0 hay S chia hết cho 10. 

Cho s = 1+3^1+3^2 + ............................+3^99

s = (1 + 3¹) + (3² + 3³) + ...+ (3⁹⁸ + 3⁹⁹) = 4.1 + 3².(1+ 3¹) + ...+ 3⁹⁸.(1+ 3¹) = 4.1 + 3².4 + ....+ 3⁹⁸.4 

= 4. (1 + 3² + 3⁴ + ...+ 3⁹⁸) chia hết cho 4

=> s chia hết cho 4