1/ Tổng của 2 số là 135, ƯCLN của chúng là 27. Tìm 2 số đó, biết 2 số đó là 2 số tự nhiên.

2/ Có nhiều cặp số tự nhiên mà tổng của chúng bằng 252 và ƯCLN của chúng bằng 36. Tìm cặp số tự nhiên có tích lớn nhất.

3/ Chứng minh rằng abcabc chia hết cho 7, 11, 13.

4/ Chứng minh rằng:

a) Tổng hoặc hiệu của hai số chẵn là một số chẵn.

b) Tổng hoặc hiệu của hai số lẻ là một số chẵn.

c) Tổng hoặc hiệu của một số lẻ và một số chẵn là một số lẻ.

d) Tích của hai hay nhiều số chẵn là một số chẵn.

e) Tích của hai hay nhiều số lẻ là một số lẻ.

f) Tích của nhiều số tự nhiên là một số chẵn nếu tích có một thừa số chẵn.

Tổng hai số tự nhiên là một số lẻ, như vậy tổng đó gồm 1 số chẵn và 1 số lẻ, do đó tích của chúng phải là 1 số chẵn (Không thể là một số lẻ được).
b) Tích hai số tự nhiên là 1 số lẻ, như vậy tích đó gồm 2 thừa số đều là số lẻ, do đó tổng của chúng phải là 1 số chẵn(Không thể là một số lẻ được).
c) Lấy “Tổng” cộng với “hiệu” ta được 2 lần số lớn, tức là được 1 số chẵn. Vậy “tổng” và “hiệu” phải là 2 số cùng chẵn hoặc cùng lẻ (Không thể 1 số là chẵn, số kia là lẻ được). 

a) Nếu tổng của 2 số tự nhiên là 1 số lẻ, thì tích của chúng có thể là 1 s

ố lẻ đƣợc không?

b) Nếu tích của 2 số tự nhiên là 1 số lẻ, thì tổng của chúng có thể là 1 số lẻ đƣợc không?

c) “Tổng” và “hiệu” hai số tự nhiên có thể là số chẵn, và số kia là lẻ đƣợc không?

Giải :

a)

Tổng hai số tự nhiên là một số lẻ, nhƣ vậy tổng

đó gồm 1 số chẵn và 1 số lẻ, do đó tích của

chúng phải là 1 số chẵn (Không thể là một số lẻ đƣợc).

b) Tích hai số tự nhiên là 1 số lẻ, nhƣ vậy tích đó gồm 2 thừa số đều là số lẻ, do đó tổng của

chúng phải là 1 số chẵn(Không thể là một số lẻ đƣợc).

c) Lấy “Tổng” cộng với “hiệu” ta đƣợc 2 lần số lớn, tức là đƣợc 1 số chẵn. Vậy “tổng” và

“hiệu” phải là 2 số cùng chẵn hoặc cùng lẻ (Không thể 1 số là chẵn, số kia là lẻ đƣợc).

Bài toán 2

: Không cần làm tính, kiểm tra kết quả của phép tính sau đây đúng

hay sai

 Cho tổng : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 49 + 50. Liệu có thể liên tục thay hai số bất kì bằng hiệu của chúng cho tới khi được kết quả là 0 hay không?
Bài giải: Ta đặt A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 49 + 50. Dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 50 có 50 số, trong đó số các số lẻ bằng số các số chẵn nên có 50 : 2 = 25 (số lẻ). Vậy A là một số lẻ. Gọi a và b là hai số bất kì của A, khi thay tổng a + b bằng hiệu a - b thì A giảm đi: (a + b) - (a - b) = 2 x b tức là giảm đi một số chẵn. Hiệu của một số lẻ và một số chẵn luôn là một số lẻ nên sau mỗi lần thay, tổng mới vẫn là một số lẻ. Vì vậy không bao giờ nhận được kết quả là 0.
 

Cho tổng : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 49 + 50. Liệu có thể liên tục thay hai số bất kì bằng hiệu của chúng cho tới khi được kết quả là 0 hay không?
Bài giải: Ta đặt A = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 49 + 50. Dãy số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 50 có 50 số, trong đó số các số lẻ bằng số các số chẵn nên có 50 : 2 = 25 (số lẻ). Vậy A là một số lẻ. Gọi a và b là hai số bất kì của A, khi thay tổng a + b bằng hiệu a - b thì A giảm đi: (a + b) - (a - b) = 2 x b tức là giảm đi một số chẵn. Hiệu của một số lẻ và một số chẵn luôn là một số lẻ nên sau mỗi lần thay, tổng mới vẫn là một số lẻ. Vì vậy không bao giờ nhận được kết quả là 0.

Bài 1 : 1 số tự nhiên chẵn chia hết cho 2. Một số tự nhiên lẻ thì chia cho 2 dư 1. Điều này có nghĩa :

a \(\in\)N, a chẵn thì a= 2k với k\(\in\)N

a \(\in\)N, a lẻ thì a=2m +1 với m \(\in\)N

Chứng minh các điều khẳng định sau đây :

a) Tổng của hai số lẻ là một số chẵn

b) Tổng của một số lẻ và một số chẵn là một số lẻ

c) Tích của hai số chẵn là một số chẵn

d) Tích của một số lẻ và một số chẵn là một số chẵn

e) Tích của hai số lẻ là một số lẻ