Ta có 
N=x^5/120+x^4/12+7x^3/24+5x^2/12+x/5 
N = ( x^5 + 10x^4 + 35x^3 + 50x^2 + 24x)/120 
N = x( x^4 + 10x^3 + 35x^2 + 50x + 24)/120 
N = x( x^4 + x^3 + 9x^3 + 9x^2 + 26x^2 + 26x + 24x + 24)/120 
N = x(x +1)(x^3 + 9x^2 + 26x + 24)/120 
N = x(x +1)(x^3+ 2x^2 + 7x^2 + 14x + 12x + 24)/120 
N = x(x+1)(x+2)(x^2 + 7x + 12)/120 
N = x(x +1)(x+2)(x+3)(x+4)/120 
N có tử số là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp 
-> N chia hết cho 5, 3 
trong 5 số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 4 và một số chia hết cho 2 
-> N chia hết cho 4x2 = 8 
Vậy N chia hết cho 3x5x8 = 120 
Vậy N luôn là số tự nhiên với mọi số tự nhiên x

Ben xem thế này có đúng ko nha 

P = x^5/120 + x^4/12 + 7x³/24 + 5x²/12 + x/5 
= x(x^4/120 + x³/12 + 7x²/24 + 5x/12 + 1/5) 
= x(x^4 + 10x³ + 35x² + 50x + 24)/120 
Xét: x(x^4 + 10x³ + 35x² + 50x + 24) 
= x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) 
-- 
Trước hết ta chứng minh x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) chia hết cho 8 
* Nếu x chia hết cho 2 => x + 2 và x + 4 cũng chia hết cho 2 
=> x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) chia hết cho 8 
* Nếu x lẻ => x = 2k + 1 
=> x + 1 = 2k + 2 và x + 3 = 2k + 4 
Dễ dàng chứng minh một trong hai số x + 1 và x + 3 có một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 4 
Thật vậy: 
► Nếu k lẻ thì 
x + 1 = 2k + 2 = 2(2m + 1) + 2 = 4m + 4 chia hết cho 4 
x + 3 = 2k + 4 = 2(2m + 1) + 4 = 4m + 6 chia hết cho 2 
=> x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) chia hết cho 8 
► Nếu n chẵn thì: 
x + 1 = 2k + 2 = 4m + 2 chia hết cho 2 
x + 3 = 2k + 4 = 4m + 4 chia hết cho 4 
=> x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) chia hết cho 8 
Tóm lại ta có 
x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) chia hết cho 8 với mọi x là số tự nhiên (1) 
--- 
Mặt khác x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) là tích 5 số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại một số chia hết cho 3 và một số chia hết cho 5 
=> x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5 với mọi x là số tự nhiên (2) 
---- 
Từ (1) và (2) cho ta 
x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5, vừa chia hết cho 8 với mọi x là số tự nhiên 
mà (3 , 5, 8) là bộ 3 số nguyên tố cùng nhau 
=> x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) chia hết cho tích 3.5.8 = 120 
Vậy P = x(x^4 + 10x³ + 35x² + 50x + 24)/120 là một số tự nhiên.

Tử = x⁴ + (x² + x + 1)

x⁴ \(\ge\) 0 với mọi x ; x² + x + 1 = x² + 2.x.\(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{4}\) + \(\frac{3}{4}\) = (x + \(\frac{1}{2}\) )² + \(\frac{3}{4}\) > 0 

=> Tử > 0 với mọi x

+) Mẫu = (x⁴ - x³ + x²) + (x² - x + 1) = x².(x² - x + 1) +  (x² - x + 1)  = (x² + 1). (x² - x + 1) > 0 với mọi x 

Do x² + 1 > 0 ;  x² - x + 1 = (x - \(\frac{1}{2}\) )² + \(\frac{3}{4}\) > 0 

Vậy A > 0 với mọi x

a, (1-x)(5x+3)= (3x-8)(1-x)

<=> (1-x) (5x+3) - (3x-8)(1-x) =0 <=> (1-x) (2x+11) = 0

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}1-x=0\\2x+11=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-\dfrac{11}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy.........

b, (x-3)(x+4)-2(3x-2)=(x-4)^2

<=> 3x = 24<=> x=8

Vậy .......

c,x^2+ x^3+x+1=0

<=> x^2 (x+1) +(x+1) =0 <=> (x^2 +1)(x+1) =0

<=> x+1 =0 => x=-1

Vậy.......

d, \(\dfrac{x-3}{x+3}-\dfrac{2}{x-3}=\dfrac{3x+1}{9-x^2}\)

\(\Leftrightarrow x^2-6x+9-2x-6=-3x-1\)

\(\Leftrightarrow x^2-5x+4=0\Leftrightarrow\left(x+4\right)\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+4=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-4\\x=1\end{matrix}\right.\)

Vậy...........

bài toán gì mà dài dòng quá

Biểu diễn đa thức bậc 6 P(x) dưới dạng tổng quát: \(P\left(x\right)=a_6x^6+a_5x^5+a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0\)

Từ P(1) = P(-1) => \(a_5+a_3+a_1=-\left(a_5+a_3+a_1\right)\Rightarrow a_5+a_3+a_1=0\)(1)

Từ P(2) = P(-2)=> \(2^5a_5+2^3a_3+2a_1=-\left(2^5a_5+2^3a_3+2a_1\right)\Rightarrow2^4a_5+2^2a_3+a_1=0\)(2)

Từ P(3) = P(-3)=> \(3^5a_5+3^3a_3+3a_1=-\left(3^5a_5+3^3a_3+3a_1\right)\Rightarrow3^4a_5+3^2a_3+a_1=0\)(3)

(2) - (1) => \(15a_5+3a_3=0\Rightarrow5a_5+a_3=0\)(2')

(3) - (1) => \(80a_5+8a_3=0\Rightarrow10a_5+a_3=0\)(3')

(3') - (2') => \(5a_5=0\Rightarrow a_5=0\). Từ (2') \(\Rightarrow a_3=0\). Từ (1)  \(\Rightarrow a_1=0\)

Đa thức P(x) trở thành:  \(P\left(x\right)=a_6x^6+a_4x^4+a_2x^2+a_0\)

và: \(P\left(x\right)=a_6x^6+a_4x^4+a_2x^2+a_0=a_6\left(-x\right)^6+a_4\left(-x\right)^4+a_2\left(-x\right)^2+a_0=P\left(-x\right)\forall x\in R\)(ĐPCM)