a) Áp dụng định lí Pi - ta - go, ta có:

10² - 5² = 75 => AC = \(\sqrt{75}\)

Còn mấy phần kia mình hơi vội nên chưa lm đc thông cảm nhé

a) Ta có: ^BAR+^DAR=^BAD=90⁰ (1)

^DAQ+^DAR=90⁰ (Do PQ vuông góc AR) (2)

Từ (1) và (2) => ^BAR=^DAQ

Xét \(\Delta\)ABR và \(\Delta\)ADQ:

^ABR=^ADQ=90⁰

AB=AD => \(\Delta\)ABR=\(\Delta\)ADQ (g.c.g)

^BAR=^DAQ

=> AR=AQ (2 cạnh tương ứng) . Xét tam giác AQR:

AR=AQ, ^QAR=90⁰ => \(\Delta\)AQR là tam giác vuông cân tại A.

Tương tự: \(\Delta\)ADS=\(\Delta\)ABP (g.c.g)

=> AS=AP, ^PAS=90⁰ => \(\Delta\)APS vuông cân tại A.

b) \(\Delta\)AQR vuông cân tại A, M là trung điểm của QR => AM vuông góc QR (3)

Tương tự: AN vuông góc với PS (4)

Lại có: AM là phân giác của ^QAR (Do \(\Delta\)AQR...) => ^MAR=45⁰

AN là phân giác của ^PAS => ^SAN=45⁰

=> ^MAR+^SAN=^MAN=90⁰ (5)

Từ (3), (4) và (5) => Tứ giác AMHN là hình chữ nhật (đpcm)

c) Vì tứ giác AMHN là hcn => ^MHN=90⁰ => MH vuông góc với PS hay QH vuông góc với PS

Xét \(\Delta\)SQR: PQ vuông góc RS tại A, PS vuông góc QR tại H

=> P là trực tâm của tam giác SQR (đpcm).

d) Ta thấy \(\Delta\)PCS vuông tại C (PC vuông góc QS), N là trung điểm của PS => CN=PN=SN.

Lại có: Tam giác APS vuông cân tại A, N là trung điểm PS => AN=PN=SN

=> CN=AN => N nằm trên đường trung trực của AC (6)

Tương tự: Tam giác QCR vuông tại C, M là trung điểm QR => CM=QM=RM

Tam giác AQR vuông cân A, M là trung điểm QR => AM=QM=RM

=> CM=AM => M nằm trên đường trung trực của AC (7)

Từ (6) và (7) => MN là trung trực của AC (đpcm). (8)

e) Xét hình vuông ABCD: 2 đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường

=> BD là trung trực của AC (9)

Từ (8) và (9) => M;B;N;D thẳng hàng (đpcm).

a) Xét tứ giác AMIN, ta có:

\(\widehat{A}\) = 90^o (△ABC vuông tại A)

\(\widehat{M}\) = 90^o (IM ⊥ AB tại M)

\(\widehat{N}\) = 90^o (IN ⊥ AC tại N)

Vậy tứ giác AMIN là hình chữ nhật.

b) *Xét △AIC, ta có:

IA = IC (AI là đường trung tuyến của △vABC)

⇒ △AIC cân tại A

Mà IN ⊥ AC (gt)

Nên IN là đường cao của △AIC

⇒ Đồng thời là đường trung tuyến

⇒ AN = NC

*Xét tứ giác ADCI, ta có:

IN = ND (gt)

AN = NC (cmt)

⇒ ADCI là hình bình hành

Mà AI = IC (cmt)

Vậy ADCI là hình thoi.

c) Gọi O là giao điểm BN và AI

Vì ADCI là hthoi (cmt)

⇒ AI // CD

⇒ \(\widehat{AIN}\) = \(\widehat{CDN}\) (so le trong)

*Cm: △INP = △DNK (g.c.g)

⇒ IP = DK

*Vì ADCI là hthoi (cmt)

⇒ AI = DC

*Ta có:

AN = NC (cmt)

⇒ BN là đường trung tuyến

*Xét △ABC, ta có:

AI, BN là đường trung tuyến (gt,cmt)

Mà AI, BN cắt nhau tại B (theo cách vẽ)

Nên P là trọng tâm của △ABC

⇒ \(\dfrac{IP}{AI}\)= \(\dfrac{1}{3}\)

Hay \(\dfrac{DK}{DC}\)= \(\dfrac{1}{3}\)

a/ xét tứ giác AEDF có góc AED = DFA=EAF=90 độ suy ra AEdf là hcn(dhnb)

b/Vì M đối xứng với D qua AB nên AB là đường trung trực của đoạn thẳng MD suy ra AM=AD ( t/c đg trung trực) 1

Tương tự ta có AD=AN 2

Từ 1 và 2 suy ra AM=AN *

Vì AM=AD (cmt) suy ra TAM GIÁC AMD CÂN TẠI A SUY RA GÓC EAM=EAD

TƯƠNG TỰ TA CÓ GÓC DAF=FAN

TA CÓ: GÓC EAM+EAD+DAF+FAN=MAN

LẠI CÓ GÓC EAM=EAD;DAF=FAN

SUY RA 2 LẦN GÓC EAD+2 LẦN GÓC DAF=MAN

MAN=2(EAD+DAF)=180 ĐỘ **

TỪ *, ** SUY RA M ĐỐI XỨNG VỚI N QUA A 

CÒN LẠI TỚ CHỊU