(+) với p= 2 => p^2 + 44 không là sô nguyên tố 

(+) với p =  3 => p^2 + 44 = 9 + 44 = 53 là số nguyên tố :

(+) với p > 3 => p có dạng 3K+ 1 hoặc 3K + 2 ta có 

       (-) với p= 3k + 1  ta có : p^2 + 44 = ( 3k+ 1 )^ 2 +44 = 9k^2 + 6k + 1 + 44 = 9k^2 + 6k+ 45 = 3 ( 3k^2 + 2k  + 15 )chia hết cho 3 với mọi K 

       (+) p = 3k + 2 ta có : p^2 + 44 = (  3k + 2)^2 + 44 = 9k^2 + 6k + 4 + 44 = 9k^2 + 6k + 48 = 3 ( 3k^2 + 2k + 16 ) chia hết cho 3 với mọi k 

vì 53 là số nguyên tố => p^2+44=53=>p^2=53-44=9=>p^2=3^2=>p=3

Xét p=2

=> p²+44=22+44=4+44=48 (là hợp số , loại ) 

Xét p=3 

=> p²+44=32+44=9+44=53 ( là số nguyên tố , thỏa mãn ) 

Xét p>3 

=> p=3k+1;3k+2 ( k \(\in\)N*)

Với p=3k+1 

=> p²+44= (3k+1)²+44 = 3k(3k+1)+3k+1+44=3k(3k+1)+3k+45 = 3k.(3k+1+1)+45

Vì 3k.(3k+1+1) ; 45 chia hết cho 3

=> p^2​+44 chia hết cho 3 (là hợp số , loại )

Voi p = 3k+2

=> p²+44 = (3k+2)²+44=3k(3k+2)+2.(3k+2)+44

= 3k(3k+2)+6k+4+44

= 3k(3k+2)+6k+48

Vi 3k(3k+2) ; 6k ; 48 deu chia het cho 3

=> p²+44 chia hết cho 3  (là hợp số , loại )

Vậy p=3 

9 Tìm số nguyên tố p sao cho : 

a) Nếu p = 2 

=> p + 16 = 2 + 16 = 18 (hợp số)

=> p = 2 (loại) 

Nếu p = 3 

=> p + 16 = 3 + 16 = 19 (số ngyên tố)

=> p + 38 = 3 + 38 = 41 (số nguyên tố)

=> p = 3 (chọn)

Nếu p > 3

=> \(\orbr{\begin{cases}p=3k+1\\p=3k+2\end{cases}\left(k\inℕ^∗\right)}\)

Nếu p = 3k + 1

=> p + 38 = 3k + 1 + 38 = 3k + 39 = 3(k + 13) \(⋮\)3

=> p = 3k + 1 (loại)

Nếu p = 3k + 2

=> p + 16 = 3k + 2 + 16 = 3k + 18 = 3(k + 6) \(⋮\)3

=> p = 3k + 2 (loại)

Vậy p = 3

b) Nếu p = 2 

=> p + 28 = 2 + 28 = 30 (hợp số)

=> p = 2 (loại) 

Nếu p = 3 

=> p + 28 = 3 + 28 = 31 (số ngyên tố)

=> p + 44 = 3 + 44 = 47 (số nguyên tố)

=> p = 3 (chọn)

Nếu p > 3

=> \(\orbr{\begin{cases}p=3k+1\\p=3k+2\end{cases}\left(k\inℕ^∗\right)}\)

Nếu p = 3k + 1

=> p + 44 =  3k + 1 + 44 = 3k + 45 = 3(k + 15) \(⋮\)3

=> p = 3k + 1 (loại)

Nếu p = 3k + 2

=> p + 28 = 3k + 2 + 28 = 3k + 30 = 3(k + 10) \(⋮\)3

=> p = 3k + 2 (loại)

Vậy p = 3

 c) Nếu p = 2 

=> p + 26 = 2 + 26 = 28 (hợp số)

=> p = 2 (loại)

Nếu p = 3 

=> p + 42 = 3 + 42 = 45 (hợp số)

=> p = 3 (loại)

Nếu p = 5

=> p + 26 = 5 + 26 = 31 (số nguyên tố)

=> p + 42 = 5 + 42 = 47 (số nguyên tố)

=> p + 48 = 5 + 48 = 53 (số nguyên tố)

=> p + 74 = 5 + 74 = 79 (số nguyên tố)

=> p = 5 (chọn)

Nếu p > 5

=> p = 5k + 1 hoặc p = 5k + 2 hoặc p = 5k + 3 hoặc p = 5k + 4 (\(k\inℕ^∗\))

Nếu p = 5k + 1

=> p + 74 = 5k + 1 + 74 = 5k + 75 = 5(k + 15) \(⋮\)5 

=> p + 74 là hợp số 

=> p = 5k + 1 (loại)

Nếu p = 5k + 2

=> p + 48 = 5k + 2 + 48 = 5k + 50 = 5(k + 10) \(⋮\)5

=> p + 48 là hợp số 

=> p = 5k + 2 (loại)

Nếu p = 5k + 3

=> p + 42 = 5k + 3 + 42 = 5k + 45 = 5(k + 9) \(⋮\)5

=> p + 42 là hợp số 

=> p = 5k + 3 (loại)

Nếu p = 5k + 4

=> p + 26 = 5k + 4 + 26 = 5k + 30 = 5(k + 6) \(⋮\)5

=> p + 26 là hợp số 

=> p = 5k + 4 (loại)

Vậy p = 5

10) a) Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là : a ; a + 1 ; a + 2

Ta có : a + a + 1 + a + 2 = 3a + 6 

                                       = 3(a + 2) \(⋮\)3

=> Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp là hợp số 

b) Gọi 3 số tự nhiên lẻ liên tiếp là : a ; a + 2 ; a + 4

=> Ta có : a + a + 2 + a + 4  = 3a + 6

                                             = 3(a + 2) \(⋮\)3

=> Tổng của 3 số tự nhiên lẻ liên tiếp là hợp số 

+, p=2 :

\(\Rightarrow p^2+44=4+44=48\) (hợp số loại)

+, p=3 :

\(\Rightarrow p^2+44=9+44=53\)(số nguyên tố thỏa mãn)

+, \(p>3\):

\(\Rightarrow\)p có dạng 3k+1;3k+2:                                       \(\left(k\inℕ^∗\right)\)

+,p=3k+1:

\(\Rightarrow\left(3k+1\right)^2+44=3n+1+44=3n+45⋮3\)(hợp số loại)

+, p=3k+2:

\(\Rightarrow\left(3k+2\right)^2+44=3m+1+44=3m+45⋮3\)(hợp số loại)                  \(\left(m;n\inℕ^∗\right)\)

Vậy p=3