Cho đường tròn (C) : x2 + y2 + 4x - 2y - 11 = 0 và đường thẳng d : 2x - 3y - 5 = 0, a = (-2;1) viết phương trình d’ , C’ lần lượt là ảnh của d và C qua T
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho đường tròn hai đường tròn (C): x2+ y2- 2x -2y +1= 0 và (C’) : x2+ y2+ 4x -5 = 0 cùng đi qua M( 1;0) .Viết phương trình đường thẳng d qua M cắt hai đường tròn lần lượt tại A; B sao cho MA= 2 MB.
A. 6x+ 6+ y= 0 hoặc -6x+ y- 6= 0
B. 2x+ 3y + 6= 0 hoặc 3x-2y + 3= 0
C. 2x+ y- 6= 0 hoặc x+ y- 6 = 0
D. 6x+ y – 6= 0 hoặc 6x –y-6= 0
Đáp án D
Gọi d là đường thẳng qua M có véc tơ chỉ phương:
- Đường tròn (C1) tâm I1 (1;1) và R1= 1
Đường tròn (C2) : tâm I2( -2;0) và R2= 3
- Nếu d cắt (C1) tại A :
- Nếu d cắt (C2) tại B:
- Theo giả thiết: MA= 2 MB nên MA2= 4 MB2 (*)
- Ta có :
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(3; -5), đường thẳng d có phương trình 3x + 2y – 6 = 0 và đường tròn (C) có phương trình x 2 + y 2 − 2 x + 4 y – 4 = 0 . Tìm ảnh của M, d, và (C) qua phép đối xứng qua trục Ox
Gọi M′, d′ và (C') theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng qua trục Ox .
Khi đó M′ = (3;5) . Để tìm ta viết biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục:
Thay (1) vào phương trình của đường thẳng d ta được 3x′ − 2y′ − 6 = 0.
Từ đó suy ra phương trình của d' là 3x − 2y – 6 = 0
Thay (1) vào phương trình của (C) ta được x ' 2 + y ' 2 − 2 x ′ + 4 y ′ − 4 = 0 .
Từ đó suy ra phương trình của (C') là x − 1 2 + y − 2 2 = 9 .
Cũng có thể nhận xét (C) có tâm là I(1; −2), bán kính bằng 3,
từ đó suy ra tâm I' của (C') có tọa độ (1;2) và phương trình của (C') là x − 1 2 + y − 2 2 = 9
Cho đường tròn (C) x2+ y2- 2x + 6y + 6= 0 và đường thẳng d: 4x -3y + 5= 0. Đường thẳng d’ song song với đường thẳng d và chắn trên (C) một dây cung có độ dài bằng 2 3 có phương trình là:
A. 4x- 3y+ 8= 0
B.4x-3y- 8= 0 hoặc 4x – 3y -18= 0
C. 4x- 3y+ 10= 0
D. 4x + 3y + 8 = 0
Đáp án B
Đường tròn (C) có tâm I( 1; -3) và R= 2
có phương trình 4x- 3y+ m= 0.
Vẽ
Vậy:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(4; – 1), đường thẳng (d) : 3x – 2y + 1 = 0 và đường tròn (C) :
x^2 + y^2 - 2x + 4y -4 = 0
a. Tìm tọa độ A’ và phương trình (d’) lần lượt là ảnh của A và (d) qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (– 2; 3)
b. Tìm phương trình đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng trục là đường thẳng (D) : x – y = 0
Trong mặt phẳng v → = ( − 2 ; 1 ) cho, đường thẳng d có phương trình 2x − 3y + 3 = 0, đường thẳng d 1 có phương trình 2 x − 3 y − 5 = 0 .
Viết phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của d qua T v → .
Lấy một điểm thuộc d, chẳng hạn M = (0; 1).
Khi đó M′ = T v → ( M ) = (0 − 2; 1 + 1) = (−2; 2) thuộc d'.
Vì d' song song với d nên phương trình của nó có dạng 2x − 3y + C = 0.
Do M' ∈ d′ nên 2.(−2) − 3.2 + C = 0. Từ đó suy ra C = 10 .
Do đó d' có phương trình 2x − 3y + 10 = 0.
Cho đường tròn (C) : x2+ y2+ 6x -2y + 5= 0 và đường thẳng d đi qua điểm A(- 4;2) , cắt (C) tại hai điểm M; N sao cho A là trung điểm của MN. Phương trình của đường thẳng d là:
A. x-y+ 6 = 0
B.2x+ 3y +2= 0
C.x+ 2y = 0
D. x+ y+2= 0
Đáp án A
Đường tròn (C) có tâm
Do đó:
ở trong đường tròn.
Để A là trung điểm của
là vectơ pháp tuyến của d nên d có phương trình: -1 (x+ 4) + 1.( y-2) =0
Hay x- y + 6= 0.
Cho đường thẳng (d) có phương trình 4x+3y-5=0 và đường thẳng ( ∆ ) có phương trình x+2y-5=0 Phương trình đường thẳng (d') là ảnh của (d) qua phép đối xứng trục ( ∆ ) là:
A. x-3=0
B. x+y-1=0
C. 3x+2y-5=0
D. y-3=0
Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm I(1; 2), M(-2; 3), đường thẳng d có phương trình 3x – y + 9 = 0 và đường tròn (C) có phương trình: x 2 + y 2 + 2 x − 6 y + 6 = 0 .
Hãy xác định tọa độ của điểm M’, phương trình của đường thẳng d’ và đường tròn (C’) theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua
a) Phép đối xứng qua gốc tọa độ;
b) Phép đối xứng qua tâm I.
a) Gọi M', d' và (C') theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng qua O.
Dùng biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ ta có :
M′ = (2; −3), phương trình của d′: 3x – y – 9 = 0, phương trình của đường tròn (C′): x 2 + y 2 − 2 x + 6 y + 6 = 0 .
b) Gọi M', d' và (C') theo thứ tự là ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng qua I .
Vì I là trung điểm của MM' nên M′ = (4;1)
Vì d' song song với d nên d' có phương trình 3x – y + C = 0.
Lấy một điểm trên d, chẳng hạn N(0; 9).
Khi đó ảnh của N qua phép đối xứng qua tâm I là N′(2; −5).
Vì N' thuộc d nên ta có 3.2 − (−5) + C = 0. Từ đó suy ra C = -11.
Vậy phương trình của d' là 3x – y – 11 = 0.
Để tìm (C'), trước hết ta để ý rằng (C) là đường tròn tâm J(−1; 3),
bán kính bằng 2. Ảnh của J qua phép đối xứng qua tâm I là J′(3; 1).
Do đó (C') là đường tròn tâm J' bán kính bằng 2. Phương trình của (C') là x − 3 2 + y − 1 2 = 4 .
Cho đường tròn (C) có phương trình x 2 + y 2 - 6 x + 2 y - 5 = 0 và điểm A(1;0) đường thẳng (d) đi qua A cắt đường tròn theo dây cung MN có độ dài ngắn nhất. Phương trình (d) là
A. x+2y+1=0
B. 2x-y-2=0
C. 2x-y+2=0
D. x+2y-1=0