Ta có a^3 + b^3 + c^3 = (a+b+c). (a^2+b^2+c^2-a.b-b.c-a.c)+3abc= 3abc

                                = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-a.b-b.c-a.c)=0

Ta Thấy a,b,c là số dương nên a+b+c khác 0 suy ra ( a^2+b^2+c^2-a.b-b.c-a.c)=0 Nên a=b=c

- k Mình Nhé 

Ta có: a³ + b³ + c³ = 3abc

<=> a³ + b³ + c³ − 3abc = 0

<=> (a + b + c) (a² + b² + c² − ab − bc − ca) = 0

<=> a² + b² + c² − ab − bc − ca = 0 (do a + b + c > 0)

<=> 1/2(2a² + 2b² + 2c² − 2ab − 2bc − 2ca) = 0

<=> a² - 2ab + b² + b² - 2bc + c² + c² - 2ac + a² = 0 

<=> (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² = 0

<=> a − b = b − c = c − a = 0

<=> a = b = c 

Lời giải chả hiểu gì

Ta có : a^3+b^3+c^3=(a+b+c).(a^2+b^2+c^2-a.b-b.c-a.c)+3.a.b.c=3.a.b.c

                             =(a+b+c).(a^2+b^2+c^2-a.b-b.c-a.c)=0

Ta thấy:a,b,c là số dương nên a+b+c khác 0 suy ra (a^2+b^2+c^2-a.b-b.c-a.c) =0 nên a=b=c

Vậy a=b=c

\(a^3+b^3+c^3=3abc\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2+ac+bc+c^2-3ab\right)=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\left(a+b+c>0\right)\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}\Rightarrow a=b=c}\)

#Thang Tran

Từ a³+b³+c³ =3abc suy ra a=b=c

Chứ không phải a=b=c suy ra a³+b³+c³ =3abc

\(a^2+b^2=2ab\)

<=>  \(a^2+b^2-2ab=0\)

<=>  \(\left(a-b\right)^2=0\)

<=>   \(a-b=0\)

<=>  \(a=b\)  (đpcm)

\(a^3+b^3+c^3=3abc\)

<=>  \(a^3+b^3+c^3-3abc=0\)

<=>  \(\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc=0\)

<=>   \(\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)=0\)

<=>  \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)

<=>  \(\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\end{cases}}\)

Xét:  \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)

<=>  \(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)

<=>  \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

<=>  \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\)

<=>  \(\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}}\)

<=>  \(a=b=c\)

=>  đpcm

cách khác:

Áp dụng BĐT AM-GM ta đc:

\(a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abc\)

Dấu "=" xảy ra  <=>  \(a=b=c\)

c)  bạn lm tương tự

A = a³ + b³ + c³ - 3abc

= (a+b)³ - 3ab(a+b) + c³ - 3abc

= (a+b+c)(a² + 2ab + b² -ac -bc + c²) - 3ab (a+b+c)

=(a+b+c)(a² + b² + c² - ab - bc - ac)

a+ b + c > 0    (dựa giả thiết)

a² + b² + c² - ab - bc - ac > 0    (*)

Chứng minh (*)

\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2}{2}\)

Ta có : a + b + c = 0 => a = -(b + c)

Nên a³ + b³ + c³ - 3abc

= [-(b + c)]³ + b³ + c³ - 3abc

= -(b³ + 3b²c + 3bc² + c³) + b³ + c³ ​- 3abc

= -b³ - 3b²c - 3bc² - c³ + b³ + c³ ​- 3abc

= -3bc(a + b + c) 

Mà a + b + c = 0 

=> 3bc(a + b + c) = 0

Vậy a³ + b³ + c³ - 3abc = 0 (đpcm)

 a³ + b³ + c³ = 3abc 
<=> a³ + b³ + c³ - 3abc = 0 
<=> a³ + b³ + 3a²b + 3ab² - 3a²b - 3ab² + c³ - 3abc = 0 
<=> (a+b)³ - 3a²b - 3ab² + c³ - 3abc = 0 
<=> [(a+b)³ + c³] – 3ab(a + b + c) = 0 
<=> (a+b+c)[(a+b)² - c(a+b) + c²] – 3ab(a+b+c) = 0 
<=> (a+b+c)(a² + 2ab + b² - ac – bc + c² - 3ab) = 0 
<=> (a+b+c)(a² + b² + c² - bc – ab – ca) = 0 
<=>{a + b +c = 0, a;b;c là các số dương => a = b = c 
hoặc {a² + b² + c² - bc – ab – ca = 0 
<=> 2a² + 2b² + 2c² - 2bc – 2ab – 2ca = 0 
<=> (a² - 2ab + b²) + (b² - 2bc + c²) + (c² - 2ac + a²) = 0 
<=> (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² = 0 
mà (a - b)² ≥ 0 với mọi a;b 
(b - c)² ≥ 0 với mọi b;c 
(c - a)² ≥ 0 với mọi a;c 
nên ta có a - b = b - c = c - a 
=> a = b =c

Ta có:\(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right).\left(a^2+b^2+c^2-a.b-b.c-a.c\right)+3.a.b.c=3.a.b.c\)

                                 \(=\left(a+b+c\right).\left(a^2+b^2+c^2-a.b-b.c-a.c\right)=0\)

Ta thấy a, b, c là số dương nên a + b + c khác 0 suy ra \(\left(a^2+b^2+c^2-a.b-b.c-a.c\right)=0\)nên a = b = c.

Vậy a = b = c

Áp dụng BĐT Cosi cho 3 số không âm ta có:

\(a^3+b^3+c^3\ge3abc\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a^3=b^3=c^3\) nên suy ra a = b = c

Mà \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

Nên suy ra đpcm :))))