xét \(\Delta BME\)và\(\Delta CMA\)có \(\hept{\begin{cases}BM=MC\left(gt\right)\\\widehat{BME}=\widehat{CMA}\\ME=MA\left(gt\right)\end{cases}}\)(đối đỉnh)

do đó tam giác BME= tam giác CME (c.g.c)

suy ra BE = AC ( 2 cạnh tương ứng )

và \(\Rightarrow\widehat{EBM}=\widehat{ACM}\)( 2 góc tương ứng )

mà 2 góc này ở vị trí so le trong suy ra BE//AC

suy ra \(\widehat{BAC}=\widehat{EBA}\)( đồng vị )

xét \(\Delta FBE\)và \(\Delta BAC\)có \(\hept{\begin{cases}FB=BA\left(gt\right)\\\widehat{FBE}=\widehat{BAC}\left(cmt\right)\\BE=AC\left(cmt\right)\end{cases}}\)

do đó \(\Delta FBE=\Delta BAC\left(c.g.c\right)\)

suy ra \(\widehat{BFE}=\widehat{ABC}\) mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên BC//FE (1)

chứng minh tương tự ta có \(\Delta EMC=\Delta AMB\left(c.g.c\right)\)\(\Rightarrow AB=EC\)( 2 cạnh tương ứng

và \(\widehat{BAC}=\widehat{ECG}\) chứng minh tương tự ta có \(\Delta ACB=\Delta CGE\left(c.g.c\right)\)

suy ra \(\widehat{ACB}=\widehat{CGE}\)( 2 góc tương ứng )

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên BC//EG (2)

từ (1) và (2) ta cí FE//BC;EG//BC   mà theo tiên đề Ơ-clit thì qua điểm E nằm ngoài đường thẳng BC chỉ có 1 đường thẳng song song vói đường thẳng đó

nên FE trùng EG

hay F;E;G thẳng hàng

a) Xét tg MAB và tg MEC có :

M1 = M2 ( đối đỉnh)

BM = MC ( M là trung điểm BC)

MA = ME ( M là trung điểm AE)

=> Tg MAB = Tg MEC (cgc)

=>  góc BAM = góc MEC 

Mà 2 góc này ở vị  trí so le trong => AB // CE

b) góc BAC = 180 - B1 - C1

góc C3 = 180 - C1 - C2

Mà C2 = B1 ( suy từ câu a) 

=> góc BAC =  góc C3                (*)

_ Xét tg ABC và tg CEG có:

góc BAC = C3 (cmt)

AB = CE

AC = CG ( C là trung điểm AG)

=> Tg ABC = tg CEG (cgc)

=> góc C1 = góc CGE

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị => BC // EG                 (1)

_ Xét tg BME và tg CMA có:

góc M3 = góc M4 ( đối đỉnh)

MB = MC (M là trung điểm BC)

ME = AM (M là trung điểm AE)

=> Tg BME = tg CMA (cgc)

=> EB = CA                  (-)

góc B2 = C1

_  góc B3 = 180 - B1 - B2

C3 = 180 - C2 - C1

Mà B1 = C2 ( suy từ câu a)

B2 = C1 (cmt)

=> góc B3 = C3

Mà  góc C3 =  góc BAC (*) => B3 = BAC

_ Xét tg FBE và tg BAC có :

góc B3 = BAC ( CMT)

BF = AB ( B là trung điểm AF)

BỂ = ÁC (-)

=> tg FBE = BAC (cgc)

=> góc BFE = ABC 

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị 

=> BC // FE                                    (2)

_ Theo tiền đề ơ-clit, từ (1) và (2) => EG trùng với FE

=> BC // FG

Hay F, E, G thẳng hàng

                                                                                               -PMM-