\(A=-|x-\frac{3}{4}|-3\)

Vì \(|x-\frac{3}{4}|\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow-|x-\frac{3}{4}|\le-0\forall x\)

\(\Rightarrow-|x-\frac{3}{4}|-3\le-0-3\)

\(\Rightarrow-|x-\frac{3}{4}|-3\le-3\)

\(\Rightarrow GTLN\)là \(-3\)

Giải thế này ko bt có đúng ko, sai thì sửa lại nhé.

Giải:

Ta có: \(A_{max}\Rightarrow-\left|x+\frac{3}{4}\right|+3_{max}\Rightarrow-\left|x+\frac{3}{4}\right|_{min}\)

\(\Rightarrow-\left|x+\frac{3}{4}\right|_{max}\) mà \(-\left|x+\frac{3}{4}\right|\ge0\)

\(\Rightarrow-\left|x+\frac{3}{4}\right|_{mon}=0\)

\(\Rightarrow A_{max}=0+3=3\)

Đặt \(\sqrt{x-4}=t\left(t\ge0\right)\Rightarrow x=t^2+4\)Khi đó \(A=\frac{t}{2t^2+8}\Rightarrow2At^2-t+8A=0\)

\(\Delta=1-64A^2\). Pt có nghiêm<=> \(\Delta\ge0\)\(\Leftrightarrow\)\(1-64A^2\ge0\)\(\Leftrightarrow\)\(A^2\le\frac{1}{64}\)\(\Leftrightarrow\)\(-\frac{1}{8}\le A\le\frac{1}{8}\)

Do đó \(MinA=\frac{-1}{8}\)khi \(t=\frac{-\left(-1\right)-\sqrt{\Delta}}{2.2A}=\frac{1-\sqrt{1-64.\left(-\frac{1}{8}\right)^2}}{4.\left(-\frac{1}{8}\right)}=-2\)(loại)

          \(MaxA=\frac{1}{8}khi\\ t=\frac{-\left(-1\right)-\sqrt{\Delta}}{2.2A}=\frac{1-\sqrt{1-64.\left(\frac{1}{8}\right)^2}}{4.\frac{1}{8}}=2\)(thỏa)

\(\Rightarrow\sqrt{x-4}=2\Rightarrow x=8\)

Vậy MaxA=1/8 khi x=8

min trước nhé max mình đang nghĩ 

ta có 

ĐKXĐ \(x>=4\)

vì x>=4 => 2x>0 và \(\sqrt{x-4}>=0\)

=> \(\frac{\sqrt{x-4}}{2x}>=0\)

dấu = xảy ra <=> x=4

min của bạn long sai rồi A>=0 mà 

t acùng tìm max = cách khác nhé 

ta có \(A=\frac{\sqrt{x-4}}{2x}=\frac{4.\sqrt{x-4}}{8x}=\frac{x-\left(x-4\right)+4\sqrt{x-4}-4}{8x}\)

            \(=\frac{1}{8}-\frac{\left(\sqrt{x-4}-2\right)^2}{8x}\)

đến đây thì dễ rồi nhé A max=1/8<=> x=8

\(Q=\left(1+\frac{\alpha}{x}\right)\left(1+\frac{\alpha}{y}\right)\left(1+\frac{\alpha}{z}\right)=\left(\frac{\alpha+x}{x}\right)\left(\frac{\alpha+y}{y}\right)\left(\frac{\alpha+z}{z}\right)\)

Mà  \(\alpha=x+y+z\)  (theo gt) nên ta có thể viết  \(Q\)  như sau:

\(Q=\left(\frac{2x+y+z}{x}\right)\left(\frac{x+2y+z}{y}\right)\left(\frac{x+y+2z}{z}\right)=\left(2+\frac{y+z}{x}\right)\left(2+\frac{x+z}{y}\right)\left(2+\frac{x+y}{z}\right)\)

Đặt  \(a=\frac{y+z}{x};\)  \(b=\frac{x+z}{y};\)  và  \(c=\frac{x+y}{z}\)  \(\Rightarrow\)  \(a,b,c>0\)

Khi đó, biểu thức  \(Q\)  được biểu diễn theo ba biến  \(a,b,c\)  như sau:

\(Q=\left(2+a\right)\left(2+b\right)\left(2+c\right)=4\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)+abc+8\)

\(\Rightarrow\)  \(Q-8=4\left(a+b+c\right)+2\left(ab+bc+ca\right)+abc\)

Mặt khác, ta lại có:

\(a+b+c=\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}\)

nên   \(a+b+c+3=\frac{y+z}{x}+1+\frac{x+z}{y}+1+\frac{x+y}{z}+1\)

\(\Rightarrow\) \(a+b+c+3=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

Lại có:   \(\hept{\begin{cases}x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\text{ (1)}\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}\text{ (2)}\end{cases}}\)   (theo bđt  \(Cauchy\)  lần lượt cho hai bộ số gồm các số không âm)

Nhân hai bđt  \(\left(1\right);\)  và  \(\left(2\right)\)  vế theo vế, ta được bđt mới là:

\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)

Theo đó,  \(a+b+c+3\ge9\)  tức là  \(a+b+c\ge6\)

\(\Rightarrow\)  \(4\left(a+b+c\right)\ge24\)  \(\left(\alpha\right)\)

Bên cạnh đó, ta cũng sẽ chứng minh  \(abc\ge8\)  \(\left(\beta\right)\)

Thật vậy, ta đưa vế trái bđt cần chứng minh thành một biểu thức mới.

\(VT\left(\beta\right)=abc=\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)}{xyz}\ge\frac{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{xz}}{xyz}=\frac{8xyz}{xyz}=8=VP\left(\beta\right)\)

Vậy, bđt  \(\left(\beta\right)\)  được chứng minh.

Từ đó, ta có thể rút ra được một bđt mới.

\(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\ge3\sqrt[3]{8^2}=12\) (theo cách dẫn trên)

\(\Rightarrow\) \(2\left(ab+bc+ca\right)\ge24\)  \(\left(\gamma\right)\)

Cộng từng vế 3 bđt  \(\left(\alpha\right);\)  \(\left(\beta\right)\)  và  \(\left(\gamma\right)\), ta được:

\(Q-8\ge24+8+24=56\)

Do đó,  \(Q\ge64\)

Dấu   \("="\)  xảy ra khi và chỉ khi  \(a=b=c\)  \(\Leftrightarrow\)  \(x=y=z=2\)

Vậy,  \(Q_{min}=64\)  khi  \(\alpha=6\)

Câu 8:

ĐK \(\hept{\begin{cases}x\ne0\\x\ne3\end{cases}}\)

\(A=\frac{x^2}{\left(x-3\right)}.\frac{\left(x-3\right)^2}{x}-4=x\left(x-3\right)-4=x^2-3x-4=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{25}{4}\\ \)

a) \(A< -6\Rightarrow\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{1}{4}< 0\) vô nghiệm

b) A>=-25/4 khi x=3/2

Ta có: \(\frac{3x+4}{x+1}=\frac{3\left(x+1\right)+1}{x+1}=\frac{3\left(x+1\right)}{x+1}+\frac{1}{x+1}=3+\frac{1}{x+1}\left(x\ne-1\right)\).

    - Để  \(3+\frac{1}{x+1}\) đạt giá trị lớn nhất thì  \(\frac{1}{x+1}\) đạt giá trị dương lớn nhất

-> x+1 đạt giá trị dương nhỏ nhất  (x+1 khác 0)

-> x đạt giá trị dương nhỏ nhất

-> x=0

- Để  \(3+\frac{1}{x+1}\) đạt giá trị  nhỏ nhất thì  \(\frac{1}{x+1}\) đạt giá trị âm nhỏ nhất

-> x+1 đạt giá trị âm lớn nhất

-> x đạt giá trị âm lớn nhất

-> x= 0 

\(A=6x-x^2+10\)

\(-A=x^2-6x+10\)

\(-A=\left(x^2-6x+9\right)+1\)

\(-A=\left(x-3\right)^2+1\)

Mà  \(\left(x-3\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow-A\ge1\Leftrightarrow A\le-1\)

Dấu "=" xảy ra khi :  \(x-3=0\Leftrightarrow x=3\)

Vậy  \(A_{Max}=-1\Leftrightarrow x=3\)

a, ĐKXĐ: x≠±2

A=\(\left(\dfrac{x}{x^2-4}+\dfrac{2}{2-x}+\dfrac{1}{x+2}\right)\left(x-2+\dfrac{10-x^2}{x+2}\right)\)

A=\(\left(\dfrac{x}{x^2-4}-\dfrac{2x+4}{x^2-4}+\dfrac{x-2}{x^2-4}\right)\left(\dfrac{x^2+2x}{x+2}-\dfrac{2x+4}{x+2}+\dfrac{10-x^2}{x+2}\right)\)

A=\(\left(\dfrac{-6}{x^2-4}\right)\left(\dfrac{6}{x+2}\right)\)

A=\(\dfrac{-36}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)^2}\)

b, |x|=\(\dfrac{1}{2}\)

TH1z: x≥0 ⇔ x=\(\dfrac{1}{2}\) (TMĐKXĐ)

TH2: x<0 ⇔ x=\(\dfrac{-1}{2}\) (TMĐXĐ)

Thay \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{-1}{2}\) vào A ta có:

\(\dfrac{-36}{\left(\dfrac{1}{2}-2\right)\left(\dfrac{1}{2}+2\right)^2}\)=\(\dfrac{96}{25}\)

\(\dfrac{-36}{\left(\dfrac{-1}{2}-2\right)\left(\dfrac{-1}{2}+2\right)^2}\)=\(\dfrac{32}{5}\)

c, A<0 ⇔ \(\dfrac{-36}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)^2}\) ⇔ (x-2)(x+2)² < 0

⇔   {x-2>0        ⇔      {x>2

     [                           [

       {x+2<0                 {x<2

⇔   {x-2<0        ⇔      {x<2

     [                           [

       {x+2>0                 {x>2

⇔ x<2 

Vậy x<2 (trừ -2)