Kẻ \(DM\perp AB,EN\perp BC,DK\perp EN\)

\(\Delta\)ACD và \(\Delta\)BEC là các tam giác đều nên DM, EN là đường cao đồng thời là trung tuyến

\(\Rightarrow MN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB\)

Xét \(\Delta\)DMN và \(\Delta\)NKD có:

     ^MDN = ^KND (DM // NK, theo cách vẽ hình phụ)

     DH: cạnh chung 

    ^DNM = ^NDK (DK //MN, theo cách vẽ hình phụ)

Do đó  \(\Delta\)DMN = \(\Delta\)NKD (g.c.g)

=> NM = DK (hai cạnh tương ứng)

Ta có: \(DE\ge DK\)(quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)

\(\Rightarrow DE\ge MN\)(do MN DK (cmt))

Dấu "=" khi CM = CN\(\Leftrightarrow AC=BC\Leftrightarrow\)C là trung điểm của AB

Vậy khi C là trung điểm của AB thì DE nhỏ nhất.

Là con c***

Kẻ DH vuông AB  tại H và DK vuông BC tại K

Kẻ DI vuông EK 

Ta có: DI //HK ( cùng vuông góc KE ) 

           DH //IK ( cùng vuông góc AB ) 

Xét \(\Delta\)DIH và \(\Delta\)KHI có:

^DIH = ^KHI ( so le trong ) 

^DHI = ^KIH ( so le trong )

HI chung 

=> \(\Delta\)DIH = \(\Delta\)KIH => DI = HK 

Mà \(\Delta\)ACD đều => DH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến => HA = HC = 1/2 AC

\(\Delta\)ECB đều => EK là đường cao đồng thời là đường trung tuyến => CK = KB = 1/2 BC

=> DI = HK = HC + CK = 1/2 .  AC + 1/2 .  BC = 1/2 . ( AC + BC ) = 1/2 . AB cố định 

Xét \(\Delta\)DIE vuông tại I có: DE là cạnh huyền 

=> \(DE\ge DI=\frac{1}{2}.BC\)

Dấu "=" xảy ra <=> DE = DI hay I trùng E 

khi đó: DH = IK = EK 

Xét \(\Delta\)DHC và \(\Delta\)EKC 

có: EK = DH ; ^ECK = ^DCH = 60 độ; ^DHC = ^EKC = 90 độ 

=> \(\Delta\)DHC = \(\Delta\)EKC => CH = CK => 1/2 AC = 1/2 . BC => AC = BC => C là trung điểm AB 

Vậy DE nhỏ nhất = 1/2 BC khi C là trung điểm AB