Giả sử điểm A đã dựng được . Gọi B là hình chiếu vuông góc của A trên Ox, khi đó AB = AC. Lấy điểm A' bất kì trên Oy, gọi B' là hình chiếu vuông góc của A' trên Ox, đường thẳng qua A' song song với AC cắt đường thẳng OC tại C'. Khi đó có thể coi tam giác ABC là ảnh của tam giác A'B'C' qua phép vị tự tâm O tỉ số  A C A ' C '  nên A'C' = A'B'.

Từ đó suy ra cách dựng:

- Lấy điểm A bất kì trên Oy, dựng B' là hình chiếu vuông góc của A lên Ox

- Lấy C' là một giao điểm của đường tròn tâm A' bán kính A'B' với đường thẳng OC.

- Đường thẳng qua C song song với A'C' cắt Oy tại A.

Dễ thấy A là điểm phải dựng.

Bài toán có hai nghiệm hình.

Ox là trung trực => OA =OB

Oy...................=> OA = OC

=> OB =OC (1)

góc BOD = COD = xOy  ( tự cm nhé) (2)

(1);(2)  => tam giác BOD =COD ( c-g-c)  ( OD chung nhé)

=> BD =CD

- Tìm A’ đối xứng với A qua Oy , B’ đối xứng với A qua Ox

- Nối A’B’ cắt Ox tại B , cắt Oy tại C . Đó chính là hai điểm cần tìm

- Chứng minh B,C là hai điểm duy nhất cần tìm .

Thật vậy : Do A’ đối xứng với A qua Oy , cho nên CA=CA’ (1) . Mặt khác : B’ đối xứng với A qua Ox cho nên ta có BA=BB’ (2) .

Gọi P là chu vi tam giác ABC - do từ (1) và (2) - thì P=CA+CB+BA =CA’+CB+BB’=A’B’ 

+ Xét tam giác bất kì ABC có Bvà C lần lượt nằm trong hai tia Ox và Oy 

+ Gọi A' và A''  là các điểm đối xứng với điểm A  lần lượt qua các đường thẳng Ox và Oy . 

Ta có \(AB=A'B\)  và \(AC=A'CC\)( do các tam giác \(ABA'\)và tam giác \(ACA''\)là tam giác cân).

+ Gọi 2p là chu vi của tam giác ABC thì có :

2p = \(AB+BC+CA=A'B+BC+CA''\ge A'A''\)

Dấu'' bằng '' xảy ra khi 4 điểm \(A'B,C,A''\)thẳng hàng . 

Nên để chu vi tam giác ABC bé nhất thì phải lấy B và lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng \(A'A''\)với hai tia Ox và Oy ( các giao điểm đó tồn tại vì góc xOy nhọn ) 

Chúc bạn học tốt !!!