Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C, lấy điểm I sao cho AB là đường trung trực của EI. Nối I với A và B.

Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, lấy điểm H sao cho AC là đường trung trực của EH. Nối H với A và C.

Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, lấy điểm K sao cho BC là trung trực của FK. Nối K với B và C.

Nối E với K, nối F với I và H.

AB là trung trực của EI => BI=BE (Tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

BC là trung trực của FK => BF=BK.

Ta có: ^B₃=^B₁ (Theo đề bài) => ^B₃+^B₂=^B₁+^B₂ (Cộng mỗi vế với ^B₂) => 2.^B₃+^B₂=2.^B₁+^B₂ (1)

Xét \(\Delta\)AIB và \(\Delta\)AEB có:

AI=AE (T/c đường trung trực)

Cạnh AB chung                         => \(\Delta\)AIB=\(\Delta\)AEB (c.c.c)

BI=BE (cmt)

=> ^ABI=^B₃ (2 góc tương ứng) => ^ABI+^B₃=2.^B₃ => 2.^B₃=^IBE (2)

Xét \(\Delta\)BFC và \(\Delta\)BKC có:

CF=CK (T/c đường trung trực)

Cạnh BC chung                        => \(\Delta\)BFC=\(\Delta\)BKC (c.c.c) 

BF=BK (cmt)

=> ^B₁=^CBK (2 góc tương ứng) => 2^B₁=^KBF (3)

Thay (2) và (3) vào (1), ta có: ^IBE+^B₂=^KBF+^B₂ => ^FBI=^KBE.

Xét \(\Delta\)BIF và \(\Delta\)BEK có:

BI=BE (cmt)

^FBI=^KBE (cmt)    => \(\Delta\)BIF=\(\Delta\)BEK (c.g.c)

BF=BK (cmt) 

=> IF=EK (2 cạnh tương ứng) (4)

\(\Delta\)AIB=\(\Delta\)AEB (cmt) => ^BAI=^A₁ (2 góc tương ứng) => ^FAI=2.^A₁ (5)

AC là trung trực của EH => AE=AH. Mà AE=AI (cmt) => AH=AI.

Xét \(\Delta\)AHC và \(\Delta\)AEC có:

AH=AE (cmt)

Cạnh AC chung              => \(\Delta\)AHC=\(\Delta\)AEC  (c.c.c)

CH=CE (T/c trung trực)

=> ^CAH=^A₂ => ^FAH=2.^A₂ (6)

Mà ^A₁=^A₂ (Đề cho) => 2.^A₁=2.^A₂ (7) . Từ (5), (6) và (7) => ^FAI=^FAH

Xét \(\Delta\)FAH và \(\Delta\)FAI có:

Cạnh AF chung

^FAH=^FAI (cmt)  => \(\Delta\)FAH=\(\Delta\)FAI (c.g.c) => IF=HF (2 cạnh tương ứng) (8)

AH=AI (cmt)

Từ (4) và (8) => IF=EK=HF.  BC là trung trực của FK => CK=CF.

AC là trung trực của EH => CE=CH.

Xét \(\Delta\)KEC và \(\Delta\)FHC có:

EK=HF (cmt)

CK=CF (cmt)   => \(\Delta\)KEC=\(\Delta\)FHC (c.c.c)

CE=CH (cmt)

=> ^KCE=^FCH (2 góc tương ứng) => ^KCF+^C₂=^HCE+^C₂ => ^KCF=^HCE (9)

\(\Delta\)BFC=\(\Delta\)BKC (cmt) => ^C₁=^BCK (2 góc tương ứng) => ^KCF=2.^C₁ (10)

\(\Delta\)AHC=\(\Delta\)AEC (cmt) => ^C₃=^ACH (2 góc tương ứng) => ^HCE=2.^C₃ (11)

Thay (10) và (11) vào (9), ta có: 2.^C₁=2.^C₃ => ^C₁=^C₃ hay ^ACE=^BCF (đpcm).

*Bài này có nhiều cách làm, mỗi cách có 1 mình khác nhau. OLM đang lỗi nên không vẽ được hình. Bạn thông cảm*

Ta có: \(\widehat{EIC}=\widehat{EAC}\) nên \(\Delta\)ABF~\(\Delta\)IBC

\(\Rightarrow\frac{BF}{BA}=\frac{BC}{BI}\) hay \(\frac{BF}{BC}=\frac{BA}{BI}\)

Lại có \(\widehat{ABE}=\widehat{CBF}\) nên \(\Delta\)ABI~\(\Delta\)FBC

Vậy \(\widehat{ACE}=\widehat{EIA}=\widehat{ACE}\)

Ta có \(\Delta AIH\) cân, AD là đường phân giác nên AD là đường trung trực đoạn IH

=> FI=FH (1)

\(\Delta FBI=\Delta KBE\left(cgc\right)\) nên FI=KE(2)

Từ (1) (2) => KE=FH

\(\Delta CEK=\Delta CHF\left(ccc\right)\)

=> \(\widehat{HCF}=\widehat{ECK}\) hay \(\widehat{ACE}=\widehat{BCF}\)

Ta có: \(\frac{S_{ACE}}{S_{DCF}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot AC\cdot CE\cdot\sin\beta}{\frac{1}{2}\cdot DC\cdot CF\cdot\sin\gamma}\left(3\right)\)

Mà \(\frac{S_{ACE}}{S_{DCF}}=\frac{S_{ABE}}{S_{DBF}}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot BE\cdot\sin\alpha}{\frac{1}{2}BD\cdot BF\cdot\sin\alpha}\left(4\right)\)

Từ (3) (4) => \(\frac{AC}{CD}\cdot\frac{CE}{CF}=\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}=\frac{AB}{BD}\cdot\frac{BE}{BF}\)

Mặt khác \(\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BD};\frac{CE}{CF}=\frac{BE}{BF}\left(E;F\in AD\right)\)

Vậy \(\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}=1\Rightarrow\widehat{ACE}=\widehat{BCF}\left(\beta+\gamma=180^o\right)\)

THANH TRÚC GIÚP MIK GIẢI ĐỐ

Cho tam giác ABC, AB<AC.Tia p/g của góc A cắt BC ở D, trên tia AC lấy điểm E sao cho AE=AB. Gọi tia M là giao điểm của AB va DE
Cmr: a) tam giác ABD=tam giacd AED
         b) tam giacd DBM=tam giác DEC

kết bn trả lời

a) Gọi F là giao diện của HI IH ta có :

I là giao điểu đối xứng của E qua AB,AC 

Ta thấy I,H đối xứng với E qua AB,AC 

=> Ta lại thấy các điểm EF thuộc đg phân giác AD ( Có cần vẽ k^o bn?)

Mà đây là xác định 1 tam giác trực tuyến theo đường phân giác nên CMR để FH = FI ta có:

Để DM và góc ABE = DBF

Mà nếu FI để cùng thì sẽ FH tuy nhiên 2 cái ko bằng nhau (vô lý) 

Để FI = FH là :

\(DEF=DBF=FH=IH\)

Vì vẽ qua đg đó nối liền vs nhau 

b) K vẽ đối xứng BC nên mình k vẽ đc :)

K đi qua F -> từ F qua BC nên 

Cmr: 

FI=FK

cho thấy FI qua 1 đg đối xứng nhất địng 

c) Bí...