a) - Nếu a hoặc b chia hết cho 3 => abc chia hết cho 3. 
- Nếu a không chia hết cho 3 và b không chia hết cho 3 => a² chia 3 dư 1, b² chia 3 dư 1 => c² chia 3 dư 2 (vô lí) 
Vậy trường hợp a không chia hết cho 3 và b không chia hết cho 3 không xảy ra => abc chia hết cho 3 

b) - Nếu a hoặc b chia hết cho 5 => abc chia hết cho 5. 
- Nếu a không chia hết cho 5 và b không chia hết cho 5 => a² chia 5 dư 1 hoặc 4; b² chia 5 dư 1 hoặc 4. 
+ Nếu a² chi 5 dư 1, và b² chia 5 dư 1 => c² chia 5 dư 2 (vô lí) 
+ Nếu a² chi 5 dư 1, và b² chia 5 dư 4=> c² chia 5 dư 0 => c chia hết cho 5. 
+ Nếu a² chi 5 dư 4 và b² chia 5 dư 1 => c² chia 5 dư 0 => c chia hết cho 5. 
+ Nếu a² chi 5 dư 4 và b² chia 5 dư 4 => c² chia 5 dư 3 (vô lí). 
Vậy ta luôn tìm được một giá trị của a, b, c thỏa mãn abc chia hết cho 5

Xét số nguyên \(x\)bất kì. 

- \(x=3k\): \(x^3=27k^3⋮9\)

- \(x=3k+1\): \(x^3=\left(3k+1\right)^3=27k^3+27k^2+9k+1\equiv1\left(mod9\right)\)

- \(x=3k-1\): \(x^3=\left(3k-1\right)^3=27k^3-27k^2+9k-1\equiv-1\left(mod9\right)\)

Vậy lập phương của một số nguyên khi chia cho \(9\)chỉ có thể có dư là \(0,1,8\).

mà \(a^3+b^3+c^3=2007⋮9\)nên có ít nhất một trong ba số hạng đó chia hết cho \(9\).

khi đó nó chia hết cho \(3\).

Vậy \(abc⋮3\).

Giả sử cả 3 số a; b; c đều không chia hết cho 3

=> a; b; c chia cho 3 dư 0 hoặc 1 

=> a² ; b² ; c² chia cho 3 dư 1

=> a² + b² chia cho 3 dư 2  . Mà c² chia cho 3 dư 1 nên a² + b² khác c² ( trái với đề bài )

Vậy trong 3 số a; b; c có ít nhất 1 số chia hết cho 3

=> a.b.c chia hết cho 3

Ta luôn có 3ab chia hết cho 3

Vậy abc + 3ab chia hết cho 3