Đối với bài này, đầu tiên lấy n = 1, 2 để biết gợi ý phân tích số thành nhân tử, rồi sau đó khái quát lên.

Với n = 1, số trở thành 121 = 11 x 11

Với n = 2, số trở thành 11211 = 111 x 101

Vậy khái quát hóa lên:

       11...1211...1 = 11..11 x 100...01 (số thứ nhất có n+1 chữ số 1, só thứ hai có số đầu tiên và cuối cùng là 1 và n-1 chữ số 0 ở giữa.

Để chứng minh trường hợp tổng quát trên cũng rất dễ, có thể đặt phép nhân theo hàng dọc là ra:

      11...11

   x 10...01

      11..   1

11..1

11...21....1

Hoặc cách khác là:

   11...11 x 10...01 = 11...11 x (10ⁿ +1) = 11...11 x 10ⁿ + 11...11

= 11...1100...0 + 11...11 = 11...1211...1

Bản chất hai cách nhân như nhau cả. 

zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz

dài dữ vậy

\(n^3+n+2\)

\(=n^3-n+2n+2\)

\(=n.\left(n^2-1\right)+2.\left(n+1\right)\)

\(=n.\left(n-1\right).\left(n+1\right)+2.\left(n+1\right)\)

\(=\left(n+1\right)\left(n^2-n+2\right)\)

\(\Rightarrow n^3+n+2\)là hợp số với mọi \(n\inℕ^∗\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Ta có: \(n^3+n+2\)

\(=n^3-n+2n+2\)

\(=n\left(n^2-1\right)+2\left(n+1\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n-1\right)+2\left(n+1\right)\)

\(=\left(n+1\right)\left(n^2-n\right)+2\left(n+1\right)\)

\(=\left(n+1\right)\left(n^2-n+2\right)\)

Ta có: \(n^2-n+2=n^2-n+\frac{1}{4}+\frac{7}{4}=\left(n-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}>0\)

Lại có: \(n^2-n=n\left(n-1\right)\)(tích 2 số tự nhiên liên tiếp chẵn nên \(n^2-n+2\)chẵn)

\(\Rightarrow n^2-n+\frac{1}{2}\)là số dương chẵn

Mà \(n+1>1\)(Vì n dương) nên \(\left(n+1\right)\left(n^2-n+2\right)\)là số tự nhiên chẵn

Vậy \(\left(n+1\right)\left(n^2-n+2\right)\)là hợp số

hay \(n^3+n+2\)là hợp số

CMR: 3^2n+3^n+1

=> 3^2n+3^n+1

= 3^(2n+n)+1

= 3^3n+1

Ta thấy 3^3n là số lẻ

=> 3^3n+1 là số chẵn

=> Trong dãy số tự nhiên chỉ có số 2 là số nguyên tố thôi

mà n>1

=> 3^3n+1 không thể là 2

=> 3^3n+1 là hợp số 

k cho mik nha!!!!!!!!!!!!!!