Chứng minh 2012! - 1 có mọi ước số nguyên tố lớn hơn 2012
Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng p có dạng 6k+1 và 6k+5.
6k+1 va 6k+5
k= 4 vi 6-6= 0+5-1=4
Chứng minh rằng 2 số 20122013 - 1 và 20122013 + 1 không thể đồng thời là số nguyên tố.
Số 2012 không chia hết cho 3 (vì tổng các chữ số của nó = 5 không chia hêt cho 3).
=> 20122013 cũng không chia hết cho 3.
Xét 3 số: 20122013 - 1, 20122013 , 20122013 + 1. Đây là ba số tự nhiên liên tiếp lơn hơn 3. => Trong 3 số liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chia hết cho 3.
Vì số ở giữa (số 20122013) không chia hết cho 3 nên hai số còn lại phải có 1 số chia hết cho 3
=> Hai số còn lại không thể cùng là số nguyên tố được
Số 2012 không chia hết cho 3 (vì tổng các chữ số của nó = 5 không chia hêt cho 3).
=> 20122013 cũng không chia hết cho 3.
Xét 3 số: 20122013 - 1, 20122013 , 20122013 + 1. Đây là ba số tự nhiên liên tiếp lơn hơn 3. => Trong 3 số liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chia hết cho 3.
Vì số ở giữa (số 20122013) không chia hết cho 3 nên hai số còn lại phải có 1 số chia hết cho 3
=> Hai số còn lại không thể cùng là số nguyên tố .
=>ĐPCM
hai số còn lại không thể là số nguyên tố được
Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Biết 2p + 1 cũng là số nguyên tố chứng minh rằng: p + 1 chia hết cho 6
Lời giải:
$p>3$ và $p$ nguyên tố nên $p$ lẻ
$\Rightarrow p+1$ chẵn $\Rightarrow p+1\vdots 2(1)$
Mặt khác:
$p>3$ và $p$ nguyên tố nên $p$ không chia hết cho $3$
$\Rightarrow p=3k+1$ hoặc $p=3k+2$ với $k$ tự nhiên.
Nếu $p=3k+1$ thì $2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1)\vdots 3$. Mà $2p+1>3$ nên không thể là số nguyên tố (trái đề bài)
$\Rightarrow p=3k+2$
Khi đó:
$p+1=3k+3\vdots 3(2)$
Từ $(1); (2)$, mà $(2,3)=1$ nên $p+1\vdots (2.3)$ hay $p+1\vdots 6$
Bài 1:Tìm số nguyên tố, biết rằng số đó bằng tổng của 2 số nguyên tố và bằng hiệu của 2 số nguyên tố.
Bài 2: CHo ba số nguyên tố lớn hơn 3, trong đó số sau lớn hơn số trước d đơn vi. Chứng minh rằng d chia hết cho 6.
Cho 3 số nguyên tố lớn hơn 3.Hãy chứng tỏ rằng luôn tồn tại 2 số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 12.
Các số nguyên tố lớn hơn 3 khi chia cho 12 thì dư 11; 7; 5 hoặc 1; mà 5 + 7 = 1 + 11 = 12 chia hết cho 12 nên nếu chia 4 số dư này thành 2 nhóm là (5; 7) và (1; 11) thì với ba số bất kì đang có khi chia cho 12 sẽ có số dư thuộc 1 trong 2 nhóm trên. (nguyên lí Dirichlet)
Chứng minh rằng:trong 3 số nguyên tố lớn hơn 3 luôn tồn tại 2 số nguyên tố mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 12
Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 5 và 2p+1 cũng là số nguyên tố thì 4p+1 có phải là số nguyên tố không?
Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 5 và 2p+1 cũng là số nguyên tố thì 4p+1 có phải là số nguyên tố không?
p là số nguyên tố lớn hơn 5 nên p có dạng 3k+1 hoặc 3k+2.
+Nếu p = 3k+1 thì $$ chia hết cho 3 => 2p+1 không phải số nguyên tố => loại
+Vậy p có dạng 3k+2
Khi đó $$ chia hết cho 3.
Vậy 4p+1 là hợp số,
p là số nguyên tố lớn hơn 5 nên p có dạng 3k+1 hoặc 3k+2.
+Nếu p = 3k+1 thì chia hết cho 3 => 2p+1 không phải số nguyên tố => loại
+Vậy p có dạng 3k+2
Khi đó chia hết cho 3.
Vậy 4p+1 là hợp số,
Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 5 và 2p+1 cũng là số nguyên tố thì 4p+1 có phải là số nguyên tố không?
p là số nguyên tố lớn hơn 5 nên p có dạng 3k+1 hoặc 3k+2.
+Nếu p = 3k+1 thì \(2p+1=2\left(3k+1\right)+1=6k+3\) chia hết cho 3 => 2p+1 không phải số nguyên tố => loại
+Vậy p có dạng 3k+2
Khi đó \(4p+1=4\left(3k+2\right)+1=12k+9\) chia hết cho 3.
Vậy 4p+1 là hợp số,
p là số nguyên tố lớn hơn 5 nên p có dạng 3k+1 hoặc 3k+2.
+Nếu p = 3k+1 thì $2p+1=2\left(3k+1\right)+1=6k+3$2p+1=2(3k+1)+1=6k+3 chia hết cho 3 => 2p+1 không phải số nguyên tố => loại
+Vậy p có dạng 3k+2
Khi đó $4p+1=4\left(3k+2\right)+1=12k+9$4p+1=4(3k+2)+1=12k+9 chia hết cho 3.
Vậy 4p+1 là hợp số,