Tìm đa thức bậc 2 f(x) sao cho :
f(x) - f(x-1) = 2x - 1
rút ra công thức tính tổng Sn = 1+3 + 5 +.... + (2n-1)
Cho đa thức
f(x)= 2x^3 - x^5 + 3x^4 + x^2 - 1 phần 2 x^3 + 3 x ^ 5 - 2x^2 - x^4 +1
a) Thu gọn và sắp xếp đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến
b) Tìm bậc của đa thức
c) Tính f (1) ; f ( - 1)
a) Ta có:
\(f\left(x\right)=2x^3-x^5+3x^4+x^2-\dfrac{1}{2}x^3+3x^5-2x^2-x^4+1\)
\(f\left(x\right)=\left(-x^5+3x^5\right)+\left(3x^4-x^4\right)+\left(2x^3-\dfrac{1}{2}x^3\right)+\left(x^2-2x^2\right)+1\)
\(f\left(x\right)=2x^5+2x^4+\dfrac{3}{2}x^3-x^2+1\)
Sắp xếp đa thức f(x) the lũy thừa giảm dần của biến, ta được:
\(f\left(x\right)=2x^5+2x^4+\dfrac{3}{2}x^3-x^2+1\)
b) Bậc của đa thức f(x) là 5
c) Ta có:
\(f\left(1\right)=2\cdot1^5+2\cdot1^4+\dfrac{3}{2}\cdot1^3-1^2+1=5,5\) . Vậy f(1) = 5,5.
\(f\left(-1\right)=2\cdot\left(-1\right)^5+2\cdot\left(-1\right)^4+\dfrac{3}{2}\cdot\left(-1\right)^3-\left(-1\right)^2+1=-1,5\). Vậy f(-1) = -1,5.
Tìm đa thức bậc hai sao cho f(x)-f(x-1)=x.Áp dụng tính tổng 1+2+3+..+n
Tìm đa thức bậc hai sao cho f(x)-f(x-1)=x Áp dụng tính tổng S=1+2+3+4+...+n
Cho đa thức f(x)=x(x+1)(x+2)(ax+b)
Xác định a và b để f(x)-f(x-1)=x(x+1)(2x+1) với mọi x.
Từ đó suy ra công thức tính tổng:
S=1.2.3+2.3.5+...+n(n+1)(2n+1) với n thuộc N*
Tìm đa thức bậc hai sao cho: f(x) - f(x-1) = x
Áp dụng tính tổng: S = 1 + 2 + 3 + ... + n
tìm đa thức bậc hai sao cho f(x)-f(x-1)=x
Áp dụng tính tổng S=1+2+3+...+n
ừmmmmmmm......bài cô giảng rùi đó ông tướng ạ!!!! giở lại xem đi.......
Giả sử f(x)=ax^2+bx+c (do đề bài cho là đa thức bậc hai)
Suy ra
f(x)−f(x−1)=ax2+bx+c−a(x−1)2−b(x−1)−c=2ax+a+b
Mà f(x)−f(x−1)=x
⇒2ax+a+b=x
Do đó a+b=0 và a=1/2 từ đó ta suy ra a=1/2;b=−1/2
Do đó f(x)=\(\frac{x^2}{2}-\frac{x}{2}+c\)
f(n)=1+2+3+...+n
Áp dụng điều ta vừa chứng minh được thì:
f(1)−f(0)=1
f(2)−f(1)=2
....
f(n)−f(n−1)=n
Do đó
1+2+...+n=f(1)−f(0)+f(2)−f(1)+...+f(n)−f(n−1)=f(n)−f(0)=\(\frac{n^2}{2}-\frac{n}{2}\)=n(n−1)2
Ta có:\(f\left(x\right)-f\left(x-1\right)=x\)
Gọi đa thức bậc hai có dạng \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)
\(\implies\)\(f\left(x-1\right)=a.\left(x-1\right)^2+b.\left(x-1\right)+c\)
\(\implies\) \(f\left(x\right)-f\left(x-1\right)=\left(ax^2+bx+c\right)-\left(a.\left(x-1\right)^2+b.\left(x-1\right)+c\right)\)
\(=\left(ax^2+bx+c\right)-\left(ax^2-2ax+a+bx-b+c\right)\)
\(=ax^2+bx+c-ax^2+2ax-a-bx+b-c\)
\(=2ax-a+b\)
Theo bài ra ta có:\(f\left(x\right)-f\left(x-1\right)=x\)
\(\implies\) \(2ax+\left(-a+b\right)=x\)
Đồng nhất các hệ số ta được :\(\hept{\begin{cases}2a=1\\-a+b=0\end{cases}}\) \(\implies\) \(\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=\frac{1}{2}\end{cases}}\)
Vậy đa thức bậc hai có dạng :
\(f\left(x\right)=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+c\)
\(\implies\) \(f\left(x\right)=\frac{x.\left(x+1\right)}{2}+c\)
Vận dụng: \(S=1+2+3+...+n\)
Ta có :\(f\left(1\right)-f\left(0\right)=1\)
\(f\left(2\right)-f\left(1\right)=2\)
\(f\left(3\right)-f\left(2\right)=3\)
.......................
\(f\left(n\right)-f\left(n-1\right)=n\)
\(\implies\) \(f\left(1\right)-f\left(0\right)+f\left(2\right)-f\left(1\right)+f\left(3\right)-f\left(2\right)+....+f\left(n\right)-f\left(n-1\right)=1+2+3+...+n\)
\(\implies\) \(f\left(n\right)-f\left(0\right)=S\)
\(\implies\) \(\left(\frac{n.\left(n+1\right)}{2}+c\right)-\left(\frac{0.\left(0+1\right)}{2}+c\right)=S\)
\(\implies\) \(\frac{n.\left(n+1\right)}{2}+c-0-c=S\)
\(\implies\) \(S=\frac{n.\left(n+1\right)}{2}\)
tìm đa thức bậc 2 sao cho f(x)-f(x-1)=x
áp dụng để tính tổng S=1+2+3+...+n
tìm đa thức bậc 2 sao cho f(x)- f(x-1)=x
áp dụng tính tổng S=1+2+3+...+n
Tìm đa thức bậc hai sao cho f(x)-f(x-1)=x
Áp dụng tính tổng S=1+2+3+4+...+n
f(x) là đa thức bậc hai nên đặt f(x) = ax2 + bx + c
=> f(x - 1) = a(x - 1)2 + b(x - 1) + c
=> f(x) - f(x - 1) = a.[x2 - (x - 1)2] + b[x - (x - 1)] = a.(2x - 1) + b = 2ax + (b - a)
Để f(x) - f(x - 1) = x thì 2ax + (b - a) = x <=> 2a = 1 và b - a = 0 => a = b = 1/2. Chọn c tùy ý
Chọn c = 0 , Vậy đa thức f(x) = \(\frac{x^2+x}{2}=\frac{x\left(x+1\right)}{2}\)
Áp dụng tính S: Đặt f(n) = \(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\) ta có:
1 = f(1) - f(0); 2= f(2) - f(1); ...; n = f(n) - f(n - 1)
=> S = 1 + 2 + ...+ n = f(1) - f(0) + f(2) - f(1) + ...+ f(n) - f(n - 1) = [f(1) + f(2) + ....+ f(n)] - [f(0) + f(1) + ...+ f(n-1)]
S = f(n) - f(0) = \(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)
Vậy.............
xét f(x)=ax^2 cộg bx cộg c
f(x)-f(x-1)=x
<=>2ax-(a-b)=x
vì phân tích trên là duy nhất suy ra a=b=1/2
nên f(x)=(x^2 cộng x)/2 cộg c (c là hằg số)
cho x=0,1,2,...n rồi cộng lại ta đc:
f(n)-f(0)=1 cộng 2 cộng...cộg n
<=>(x^2 cộg x)/2=1 cộg 2 cộg...cộng n.
lưu ý:từ bài này ta có thể suy ra cách tính tổng của một số dãy số.