Câu 4: (3,0 điểm). Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MA với đường tròn (A là tiếp điểm). Tia Mx nằm giữa MA và MO cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm C và D (C nằm giữa M và D). Gọi I là trung điểm của dây CD, kẻ AH vuông góc với MO tại H. a/ Tính OH. OM theo R. b/ Chứng minh: Bốn điểm M, A, I , O cùng thuộc một đường tròn. c/ Gọi K là giao điểm của OI với HA. Chứng minh KC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)
a: OH*OM=OA^2=R^2
b: ΔOCD cân tại O
mà OI là đường trung tuyến
nên OI vuông góc với CD
Xét tứ giác OIAM có
góc OIM=góc OAM=90 độ
nên OIAM là tứ giác nội tiếp
c: Xét ΔOHK vuông tại H và ΔOIM vuông tại I có
góc HOK chung
Do đo: ΔOHK đồng dạng với ΔOIM
=>OH/OI=OK/OM
=>OI*OK=OH*OM=R^2=OC^2
mà CI vuông góc với OK
nên ΔOCK vuông tại C
=>KC là tiếp tuyến của (O)
Cho M là một điểm tùy ý thuộc đường thẳng d cố định nằm ngoài đường tròn (O;R). kẻ 2 tiếp tuyến MP,MQ với đường tròn (O) ( P và Q là các tiếp điểm). kẻ OH vuông góc d (H thuộc d). dây cung PQ cắt OH tại I, cắt OM tại K. CMR:
OI.OH=OK.OM=R^2Khi M thay đổi trên d thì vị trí của điểm I luôn cố địnhCÁC BẠN GIẢI HỘ MK NHÉ CÂU NÀO CX ĐC
Cho đường tròn (O;R). M là 1 điểm tùy ý trên đường thẳng xy, trong đó xy và (O) không giao nhau. Kẻ 2 tiếp tuyến MP vs MQ với (O)(P,Q là tiếp điểm). Kẻ \(OH\perp xy,PQ\Omega OH=\left(I\right)PQ\Omega OM=\left(K\right)\)CMR
a) 4 điểm M, P. Q, O cùng thuộc 1 đường tròn
b)OI.OH=OK.OM
c) PQ luôn đi qua 1 điểm cố định
cho đường tròn tâm o bán kính r và một điểm M nằm ngoài đường tròn . Qua M kẻ tiếp tuyến MA với đường tròn ( A là tiếp điểm ) . Tia Mx là phân giác của góc AMO cắt đường tròn (O;R) tại hai điểm C và D ( C nằm giữa 2 điểm M và D ). Gọi I là trung điểm của dây CD ,kẻ AH vuông góc với MO tại H.
a) Tính OH, OM theo R ;
b) gọi E là trung điểm của OM. Chứng minh điểm M,A,I,O cùng thuộc một đường tròn ;
c) gọi K là giao điểm của OE và HA. Chứng minh rằng KC là tiếp tuyến của (O;R)
a: OH*OM=OA^2=R^2
b: ΔOCD cân tại O
mà OI là đường trung tuyến
nên OI vuông góc với CD
Xét tứ giác OIAM có
góc OIM=góc OAM=90 độ
nên OIAM là tứ giác nội tiếp
c: Xét ΔOHK vuông tại H và ΔOIM vuông tại I có
góc HOK chung
Do đo: ΔOHK đồng dạng với ΔOIM
=>OH/OI=OK/OM
=>OI*OK=OH*OM=R^2=OC^2
mà CI vuông góc với OK
nên ΔOCK vuông tại C
=>KC là tiếp tuyến của (O)
cho đường tròn tâm O bán kính R 2 tiếp tuyến tại A và B của đường tròn cắt nhau tại điểm M đoạn thẳng OM cắt đường tròn (O) tại điểm I , cắt AB tại điểm K a)chứng minh 4 điểm M,A,O,B cùng thuộc đường tròn b)chứng minh OM.OK=R^2 và điểm I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB
a: Xét tứ giác MAOB có \(\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0\)
nên MAOB là tứ giác nội tiếp
=>M,A,O,B cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó: MA=MB
=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)
Ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của AB
=>MO\(\perp\)AB tại K
Xét ΔOAM vuông tại A có AK là đường cao
nên \(OK\cdot OM=OA^2=R^2\)
Ta có: \(\widehat{MAI}+\widehat{OAI}=\widehat{MAO}=90^0\)
\(\widehat{KAI}+\widehat{OIA}=90^0\)(ΔAKI vuông tại K)
mà \(\widehat{OAI}=\widehat{OIA}\)
nên \(\widehat{MAI}=\widehat{KAI}\)
=>AI là phân giác của góc MAB
Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó: MO là phân giác của góc AMB
=>MK là phân giác của góc AMB
Xét ΔMAB có
MK,AI là các đường phân giác
MK cắt AI tại I
Do đó: I là tâm đường tròn nội tiếp ΔMAB
Cho đường tròn tâm O bán kính R và đường thẳng d cố định không giao nhau. Hạ OH vuông góc với d. M là một điểm tùy ý trên d (M không trùng với H). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn (O; R) (P, Q là các tiếp điểm và tia MQ nằm giữa hai tia MH và MO). Dây cung PQ cắt OH và OM lần lượt tại I và K.
A) cm tứ giác OMHQ nội tiếp
B) cm góc OMH = góc OIP
C) cm khi M di chuyển trên đường thẳng d thì điểm I luôn cố định.
D) Biết OH = R√2, tính IP.IQ
Cho một đường thẳng d cố định nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R. Lấy điểm M thuộc d, từ M kẻ tiếp tuyến MP và MQ( P và Q là các tiếp điểm). Kẻ OH vuông góc với d, PQ cắt OM tại K, cắt OH tại I. CMR:
\(\left(a\right)OH.OI=OM.OK \)
b*) Khi M di chuyển trên d thì I luôn luôn cố định.
a) Ta thấy OM là trung trực của PQ => OM vuông góc PQ => ^OKI = ^OHM = 900
=> \(\Delta\)OKI ~ \(\Delta\)OHM (g.g) => OH.OI = OK.OM (đpcm).
b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có: OH.OI = OK.OM = OP2 = R2
Vì d,O đều cố định nên khoẳng cách từ O tới d không đổi hay OH không đổi
Vậy \(OI=\frac{R^2}{OH}=const\). Mà tia OI cố định nên I cố định (đpcm).
Từ M nằm ngoài đường tròn (O;R) kẻ các tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn ( O;R ) , ( P và Q là các tiếp điểm ). Kẻ đường kính POA . Tiếp tuyến tại A với đường tròn (O;R) cắt PQ tại B . a) CM M,P,O,Q cùng thuộc 1 đường tròn đường kính OM . b) Gọi K là trung điểm của MO , tia PK cắt AQ tại I . CM PQ.PB=4R^2 và góc QBO = góc QAM
a: Xét tứ giác OPMQ có
\(\widehat{OPM}+\widehat{OQM}=90^0+90^0=180^0\)
=>OPMQ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OM
=>M,P,O,Q cùng nằm trên đường tròn đường kính OM
b: Xét (O) có
ΔPQA nội tiếp
PA là đường kính
Do đó: ΔPQA vuông tại Q
=>AQ\(\perp\)QP tại Q
=>AQ\(\perp\)PB tại Q
Xét ΔAPB vuông tại A có AQ là đường cao
nên \(PQ\cdot PB=PA^2=\left(2R\right)^2=4R^2\)
cho đường tròn (O;R), đường thẳng d cố định và không giao nhau với đường tròn . Từ điểm M tùy ý trên d, kẻ 2 tiếp tuyến MA,MB với (O)(A,B thuộc đường tròn tâm O).Kẻ Oh vuông góc với d tại H. Day cung AB cắt OH tại I,cắt MO tại K.
a)chứng minh rằng :OI.OH=OK.OM
b)Khi M thay đổi trên d thì điểm K di chuyển trên đường nào
a) MA và MB là hai tiếp tuyến từ M đến (O) nên MA = MB => OM là trung trực của AB
=> OM vuông góc AB (tại K) => ^OKI = ^OHM = 900 => \(\Delta\)OKI ~ \(\Delta\)OHM (g.g)
Vậy OI.OH = OK.OM (đpcm).
b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có: OI.OH = OK.OM = OA2 = R2 (Không đổi)
Vì d cố định, O cố định nên khoảng cách từ O tới d không đổi hay OH không đổi
Do vậy \(OI=\frac{R^2}{OH}=const\)=> Đường tròn (OI) cố định
Mà K thuộc (OI) (vì ^OKI nhìn đoạn IO dưới góc 900) nên K di chuyển trên (OI) cố định (đpcm).
const là gì mình chưa biết ban giải thích cái đó được không?
const là hằng số
