a, Xét ΔABH và ΔAHD có

       Góc A chung

        Góc ADH=Góc AHB=90° 

=> ΔABH ~ΔAHD(g.g)

=> AH/AB=AD/AH

=> AB.AD=AH²(1)

Xét ΔAEH và ΔAHC có:

Góc A chung 

Góc AEH = góc AHC

=>ΔAEH~ΔAHC(g.g)

=> AE/AH=AH/AC

=>AE.AC=AH²(2)

Từ (1);(2) => AD.AB=AE.AC(đpcm)

b, vì ΔABC vuông tại A có AI là trung tuyến ứng với cạnh huyền=> BI=IC=AI

=> ΔAIC cân tại I

=>góc IAC =góc ICA

Ta cũng có ΔBIA cân tại I =>góc IBA=góc BAI

Mà góc BAI =góc AED(cùng phụ)

         => góc IBA=góc AED

Mà ABI+góc ACI= 90°

=>    gócAED + góc IAC=90° 

      => DEvuông góc vs AI

c, 

mình làm câu c,d nek bạn

c, ta có\(\Delta\)HEC vuông tại E( vì E là hình chiếu của H nên Góc E=90 độ)

        => EN là đường trung tuyến ứng vs cạnh huyền

        => EN=NH=NC( vì N là trung điểm của HC)

         => \(\Delta\)ENC cân tại N(NE=NC cmt)

        => góc NEC=góc NCE(hai góc đáy) (1)

     chứng minh tương tự trong \(\Delta\)BMD cân tại M

       => góc DBM=góc MDB(2)

ta có \(\Delta\)ABC vuông tại A nên góc DBM+góc NCE=90 độ

                                            =>góc MDB+ góc NEC(vì (1);(2))    (3)

      và \(\Delta\)\(\Delta\)
DAE vuông tại A nên góc ADE+góc AED=90 độ (4)

từ (3);(4)=>góc BDM+góc ADE=90 độ

              => góc MDH+góc HDE=90 độ ( 180 độ - (MDH+HDE))

              => DM\(\perp\) DE (*)

     và    góc DEA+ góc NEC=90 độ

            => góc HDE+góc HEN= 90 độ 

           => DE\(\perp\) EN (**)

từ (*); (**)=> MDEN là hình thang (DM // EN vì cùng \(\perp\)vs DE)

d, Ta có DHEA là hình chữ nhật (góc D= góc H =Góc E=90 độ)

=> OH=OA=OD=OE (t/c đường chéo hcn)

=> OH=OA=HA/2

ta có HM+HN=BM+NC(vì BM=MH; NH=NC)

    =>  MH+HN=BC/2=>MN=1/2 BC

 diện tích \(\Delta\)ABC =1/2. AH. BC

 diện tích \(\Delta\)MON=1/2.OH.MN=1/2.1/2AH.1/2BC

Vậy (S\(\Delta\) MON)/(S\(\Delta\)ABC)=(1/2.AH.BC)/(1/8 AH.BC)

                                         =4

Mình nghĩ là làm như vậy, có gì bạn góp ý nha

a: Xét ΔABC có 

P là trung điểm của AC

N là trung điểm của BC

Do đó: PN là đường trung bình của ΔBAC

Suy ra: PN//AB và \(PN=\dfrac{AB}{2}\)

mà M\(\in\)AB và \(AM=\dfrac{AB}{2}\)

nên PN//AM và PN=AM

Xét tứ giác AMNP có 

PN//AM

PN=AM

Do đó: AMNP là hình bình hành

mà \(\widehat{PAM}=90^0\)

nên AMNP là hình chữ nhật

a: Xét ΔCAB có CP/CA=CN/CB

nên PN//AB và PN=AB/2

=>PN//AM và PN=AM

=>AMNP là hình bình hành

mà góc PAM=90 độ

nên AMNP là hình chữ nhật

b: \(AC=\sqrt{10^2-8^2}=6\left(cm\right)\)

AH=6*8/10=4,8cm

bạn chỉ mình câu a với

a: Ta có: ΔABC vuông tại A

mà AP là đường trung tuyến

nên \(AP=\dfrac{BC}{2}=5\left(cm\right)\)

Xét ΔABC có

M,N lần lượt là trung điểm của AB,AC

=>MN là đường trung bình của ΔABC

=>MN//BC và \(MN=\dfrac{1}{2}BC\)

=>\(MN=\dfrac{1}{2}\cdot10=5\left(cm\right)\)

b: Xét ΔABC có

N,P lần lượt là trung điểm của CA,CB

=>NP là đường trung bình của ΔABC

=>NP//AB và \(NP=\dfrac{AB}{2}\)

Ta có: NP//AB

M\(\in\)AB

Do đó: NP//AM

ta có: \(NP=\dfrac{AB}{2}\)

\(AM=\dfrac{AB}{2}\)=MB

Do đó; NP=AM=MB

Xét tứ giác AMPN có

AM//NP

AM=NP

Do đó: AMPN là hình bình hành

Hình bình hành AMPN có \(\widehat{MAN}=90^0\)

nên AMPN là hình chữ nhật

a: Xét ΔCAB có CN/CA=CP/CB

nên NP//AB và NP=AB/2

=>NP//AM và NP=AM

=>AMPN là hình bình hành

mà góc MAN=90 độ

nên AMPN là hình chữ nhật

b: \(BC=\sqrt{9^2+12^2}=15\left(cm\right)\)

AH=9*12/15=108/15=7,2(cm)