1. Gọi số đó là n. Ta có n-1 chia hết cho 2; 3; 4; 5; 6

Để n nhỏ nhất thì n-1 nhỏ nhất. Vậy ta đi tìm BCNN của các số trên là 60

n-1 chia hết cho 60 hay n-1 = 60k <=> n = 60k + 1 (*)

n chia hết cho 7 => 60k + 1 chia hết cho 7

<=> 60k ≡ -1 (mod 7) <=> 56k + 4k ≡ -1 (mod 7) <=> 4k ≡ -1 (mod 7)

<=> 4k ≡ 6 (mod 7) <=> 2k ≡ 3 (mod 7) <=> 2k ≡ 10 (mod 7) <=> k ≡ 5 (mod 7)

Vậy k nhỏ nhất là 5

Thế vào (*): n = 301 thỏa mãn

2. a) n = 25k - 1 chia hết cho 9

<=> 25k ≡ 1 (mod 9) <=> 27k - 2k ≡ 1 (mod 9) <=> -2k ≡ 1 (mod 9) <=> -2k ≡ 10 (mod 9)

<=> -k ≡ 5 (mod 9) <=> k ≡ 4 (mod 9)

Để n nhỏ nhất thì k nhỏ nhất, vậy k là 4

Thế vào trên được n = 99 thỏa mãn

b) ... -3k ≡ 1 (mod 21) <=> -21k ≡ 7 (mod 21) => Vô lý vì -21k luôn chia hết cho 21

Vậy không có n thỏa mãn

c) Đặt n = 9k

9k ≡ -1 (mod 25) <=> 9k ≡ 24 (mod 25) <=> 3k ≡ 8 (mod 25) <=> 3k ≡ 33 (mod 25)

<=> k ≡ 11 (mod 25) => k = 25a + 11 (1)

9k ≡ -2 (mod 4) <=> 9k ≡ 2 (mod 4) <=> k ≡ 2 (mod 4) => k = 4b + 2 (2)

Từ (1) và (2) => 25a + 11 = 4b + 2 <=> 25a + 9 = 4b => 25a + 9 ≡ 0 (mod 4)

<=> a + 1 ≡ 0 (mod 4) (*)

Lưu ý rằng n tự nhiên nhỏ nhất => k tự nhiên nhỏ nhất => a tự nhiên nhỏ nhất. Vậy a thỏa mãn (*) là a = 3 => n = 774 thỏa mãn

Mình không được dạy dạng toán này nên không biết cách trình bày, cách giải cũng là mình "tự chế" nên nhiều chỗ hơi "lạ" một chút, không biết đúng không nữa :D

1. n = 301

2.a) n = 99

b) không có

c) n = 774

qua de ma cung phai hoi

Ta có :

\(n^2+9n+9=n.\left(n+9\right)+9=n.\left(n-4\right)+13n+9\) chia hết cho n - 4

\(\Leftrightarrow13n+9=13n-52+61\) chia hết cho n - 4

\(\Leftrightarrow61\) chia hết cho n - 4

\(\Leftrightarrow n-4\inƯ\left(61\right)\)

\(\Leftrightarrow n-4\in\left\{1;61\right\}\)

\(\Leftrightarrow n\in\left\{5;65\right\}\)

\(a,n+4⋮n\)

do \(n⋮n\Rightarrow4⋮n\)

\(\Rightarrow n\in\left(1;2;4\right)\)

\(b,3n+7⋮n\)

do \(3n⋮n\Rightarrow7⋮n\)

\(\Rightarrow n\in\left(1;7\right)\)

\(c,27-5n⋮n\)

do \(5n⋮n\Rightarrow27⋮n\)

\(\Rightarrow n\in\left(1;3;9;27\right)\)

n + 4 chia hết cho n

vì n chia hết cho n

nên 4 chia hết cho n -> n thuộc Ư(4) = (1;2:4)

3n + 7 chia hết cho n

Vì 3n chia hết cho n

Nên 7 chia hết cho n-> n thuộc (7) = (1;7)

27- 5n chia hết cho n( 0 < n<5)

27- 5n chia hết cho n-> phép chia này có số dư bằng 0

A chia hết cho n, b chia hết cho n (a lớn hơn hoặc bằng b; a bé hơn hoặc bằng b)

Thì a – b; b – a thuộc n

Mà ta có 5n chia hết chon

Nên 27 chia hết cho n ->n thuộc Ư(27) = ( 1;3;9;27)

Mà 0 <n<5

Nên n thuộc (1;3)

n + 4 \(⋮\)n

ta có  : n \(⋮\)n 

=> 4 \(⋮\)n

=> n \(\in\)Ư ( 4 ) = { 1 ; - 1 ; 2 ; - 2 ; 4 ; - 4 }

Vì n \(\in\)N => n \(\in\){ 1 ; 2 ; 4 }

Ta có : 3n \(⋮\)n

=> 7 \(⋮\)n

=> n \(\in\)Ư ( 7 ) = { 1; -1 ; 7 ; -7 }

VÌ n \(\in\)N => n \(\in\){ 1 ; 7 }

27 - 5n \(⋮\)n

Ta có 5n \(⋮\)n

=> 27 \(⋮\)n

=> n \(\in\)Ư ( 27 ) = { 1 ; - 1 ; 3 ; - 3 ; 9 ; - 9 ; 27 ; - 27 }

Vì n \(\in\)N => n \(\in\){ 1 ; 3 ; 9 ; 27 }

\(a,\frac{n+6}{n+2}=\frac{n+2+4}{n+2}=1+\frac{4}{n+2}\)

Để \(n+6⋮n+2\Rightarrow\frac{4}{n+2}\in N\Leftrightarrow n+2\in\left(1;2;4\right)\)

\(\Rightarrow n\in\left(-1;0;2\right)\)

Vì \(n\in N\Rightarrow n\in\left(0;2\right)\)

\(b,2n+3⋮n-2\)

\(\Rightarrow2n-4+7⋮n-2\)

Do \(2n-4⋮n-2\Rightarrow7⋮n-2\)

\(\Rightarrow n-2\in\left(1;7\right)\)

\(\Rightarrow n\in\left(3;9\right)\)

\(d,n^2+4⋮n+1\)

\(\Rightarrow n^2+1+4⋮n+1\)

\(\Rightarrow4⋮n+1\)

\(\Rightarrow n+1\in\left(1;2;4\right)\)

\(\Rightarrow n\in\left(0;1;3\right)\)