Ta có: \(1=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}\)

Vì a,b,c là số nguyên dương nên: 

Ta có: \(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\)

          \(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\)

           \(\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1\)             

                                                                                                                       đpcm

Cảm ơn bạn rất nhiều!

a/b= (1+1/6) + (1/2+1/5) + (1/3+1/4)

a/b= 7/6 + 7/10 + 7/12

a/b= 7(1/6+1/10+1/12)

Vì 6x10x12 khong la boi so cua 7 => a/b chia het cho 7 <=> a chia het cho 7 (dpcm)

Bạn ơi cho mình hỏi dpcm là gì vậy?

dpcm: điều phải chứng minh

Ta có \(ax^2+bx+c=0\)   vô nghiệm

=> \(\Delta=b^2-4ac< 0\)

=> \(b^2< 4ac\)=> c>0

MÀ \(4ac\le\frac{\left(4a+c\right)^2}{4}\left(hđt\right)\)

=> \(\left(4a+c\right)^2>4b^2\)

Lại có a,b,c>0

=> \(4a+c>2b\)

=> \(a+b+c>3\left(b-a\right)\)=> \(\frac{a+b+c}{b-a}>3\left(đpcm\right)\)

Cho mình hỏi chỗ hđt là sao thế?

Biến đổi tương đương thành hằng đẳng thức

\(\left(4a-c\right)^2\ge0\)luôn đúng

\(\frac{1}{1+a+ab}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{1}{1+c+ac}\)

\(=\frac{abc}{abc+a\times abc+ab}+\frac{abc}{abc+b+bc}+\frac{1}{1+c+ac}\)

\(=\frac{abc}{ab\left(c+ac+1\right)}+\frac{abc}{b\left(ac+1+c\right)}+\frac{1}{1+c+ac}\)

\(=\frac{c}{c+ac+1}+\frac{ac}{ac+1+c}+\frac{1}{1+c+ac}\)

\(=\frac{c+ac+1}{c+ac+1}\)

= 1

\(A=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{1}{bc+b+1}+\frac{1}{ca+c+1}\)\(=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{a\left(bc+b+1\right)}+\frac{abc}{ca+c+abc}\)

\(=\frac{1}{ab+a+1}+\frac{a}{1+ab+a}+\frac{ab}{a+1+ab}=1\)

Theo bài ra ta có: a.b.c = 1

    =>  a=1;b=1;c=1

Ta có: A = \(\frac{1}{a.b+a+1}\)\(+\frac{1}{b.c+b+1}+\frac{1}{c.a+c+1}\)\(=\frac{1}{1.1+1+1}+\frac{1}{1.1+1+1}\)\(+\frac{1}{1.1+1+1}\)

             \(=\frac{1}{1+1+1}+\frac{1}{1+1+1}+\frac{1}{1+1+1}\)\(=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{3}{3}=1\)

Vậy A = 1