Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Vì ΔACD = ΔBDC nên các tiếp tuyến tương ứng của chúng bằng nhau, do đó AJ = BJ. Từ đó suy ra IJ  ⊥  AB. Tương tự, IJ ⊥ CD. Vậy IJ là đường vuông góc chung của AB và CD.

Làm tương tự đối với các cặp cạnh đối diện khác ta chứng minh được rằng đường nối trung điểm của các cặp cạnh đối diện là đường vuông góc chung của cặp cạnh đó. Do đó các đường đó đồng quy tại O là trung điểm của mỗi đường.

Gọi (P) là mặt phẳng qua AB và song song với CD, (Q) là mặt phẳng qua CD và song song với AB; A', B' lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên (Q); C', D' lần lượt là hình chiếu vuông góc của C, D lên (P). Dễ thấy AC'BD'.A'CB'D là hình hộp chữ nhật. Đường nối hai tâm của mỗi cặp mặt đối diện của hình hộp chữ nhật đó chính là đường vuông góc chung của các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD. Do đó chúng đôi một vuông góc với nhau.

Gọi N là trung điểm của BD.

Xét \(\Delta\)ABC có: E là trung điểm AB; F là trung điểm BC => EF là đương trung bình trong \(\Delta\)ABC

=> EF // AC. Mà AC vuông góc BD. Nên EF vuông góc BD hay ND vuông góc EF   (1)

Ta thấy: FN là đường trung bình \(\Delta\)BCD => FN // CD

Do EM vuông góc CD nên EM vuông góc FN. Tương tự, ta có: FM vuông góc EN

Xét \(\Delta\)ENF có: EM vuông góc FN; FM vuông góc EN => M là trực tâm \(\Delta\)ENF

=> NM vuông góc EF   (2)

Từ (1) và (2) => 3 điểm D;N;M thẳng hàng. Lại có N là trung điểm BD => B;M;D thẳng hàng (đpcm).

a)  Xét tam giác vuông AMD và tam giác vuông CBN ta có :

\(\widehat{AMD}=\widehat{CNB}=90^o\) ( GT )

\(AD=CB\)( Vì ABCD là hình bình hành )

\(\widehat{ADM}=\widehat{CBN}=60^o\) ( góc đối của hình bình hành ABCD )

Do đó : \(\Delta AMD=\Delta CBN\)( cạnh huyền - góc nhọn )

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}AM=CN\\DM=NB\end{cases}}\)( các cặp cạnh tương ứng )

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}AM=CN\\AN=CM\end{cases}}\)   ( vì AB=CD )

=> ANCM là hình bình hành 

Xét hình bình hành ANCM ta có :

góc AMC=90 độ 

=> AMCN là hình chữ nhật   .  ( dấu hiệu nhận biết 3 )

b) Ta có  O là điểm giao hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD .

=> O là trung điểm của AC và BD . (1)

Và ANCM là hình bình hành ( câu a )

=> O là giao điểm của hai đường chéo AC và MN 

=> O cũng là trung điểm của MN   (2)

Từ (1) và (2)

=> AC , BD và MN đồng quy tại điểm O  ( đpcm)

a)

Ta có: ANCM là hbh.

mà \(\widehat{AMC}=90^O\left(AM\perp DC\right)\)

=> Tứ giác ANCM là hình chữ nhật.

b)

Gọi O là giao điểm của AC và MN.

Ta có: ANCM là HCN.

=> O tđ AC, O tđ MN.

=> O qua AC, O qua MN.

Lại có: ABCD là hbh. Mà O tđ AC(cmt).

=> O tđ BD nên BD qua O.

Vậy AC, BD, MN đồng quy.