a: Xét ΔADC và ΔBCD có

AD=BC

\(\hat{ADC}=\hat{BCD}\) (ABCD là hình thang cân)

DC chung

Do đó: ΔADC=ΔBCD

=>\(\hat{ACD}=\hat{BDC}\)

=>\(\hat{OCD}=\hat{ODC}\)

=>OC=OD

ta có: OC+OA=AC

OD+OB=BD

mà OC=OA và AC=BD

nên OA=OB

b: Xét ΔECD có \(\hat{ECD}=\hat{EDC}\)

nên ΔECD cân tại E

=>EC=ED

=>E nằm trên đường trung trực của CD(3)

Ta có: OC=OD

=>O nằm trên đường trung trực của CD(4)

Từ (3),(4) suy ra EO là đường trung trực của CD

Ta có: EA+AD=ED

EB+BC=EC

mà AD=BC và ED=EC

nên EA=EB

=>E nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1),(2) suy ra EO là đường trung trực của AB

Xét ∆ ADC và  ∆ BCD, ta có:

AD = BC (tính chất hình thang cân)

∠ (ADC) =  ∠ (BCD) (gt)

DC chung

Do đó:  ∆ ADC =  ∆ BCD (c.g.c) ⇒ ∠ C 1 =  ∠ D 1

Trong  ∆ OCD ta có:  ∠ C 1 =  ∠ D 1  ⇒  ∆ OCD cân tại O ⇒ OC = OD (1)

AC = BD (tính chất hình thang cân) ⇒ AO + OC = BO + OD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AO = BO.

Bài này dễ thôi :)

Xét tam giác OAD và tam giác OBC ta có:

góc OAD = góc OCB (hai góc so le trong, AB//CD)

AD = BC (Vì hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau)

góc ODA = góc OBC (hai góc so le trong, AB//CD)

=> tam giác OAD = tam giac OBC (g-c-g)

=> OA=OB 

chứng minh tương tự ta sẽ được OD=OC

Bài làm :

Xét  tam giác ABC và tam gác BAD có :

AB cạnh chung

BC = AC ( ABCD httg cân )

AC = BD ( 1 ) ( ABCD httg cân )

\(\Rightarrow\)tam giác ABC = tam giác BAD ( c - c - c )

\(\Rightarrow\widehat{A1}\)=   \(\widehat{D1}\)

\(\Rightarrow\)Tam giác OAB cân tại O

\(\Rightarrow\)OA = OB ( 2 )

ta có :  OA + OC = AC ( 3 )

OB + OD = BD ( 4 )

Từ ( 1 ) : ( 2 ) ; ( 3 ) ; ( 4 ) suy ra OC = OD

help meeee

a ) Xét $\Delta$ADC và $\Delta$BCD, ta có:

AD = BC (tính chất hình thang cân)

$\angle$(ADC) = $\angle$(BCD) (gt)

DC chung

Do đó: $\Delta$ADC = $\Delta$BCD (c.g.c) ⇒ $\angle C_1$= $\angle D_1$

Trong $\Delta$OCD ta có: $\angle C_1$= $\angle D_1$ ⇒ $\Delta$OCD cân tại O ⇒ OC = OD (1)

AC = BD (tính chất hình thang cân) ⇒ AO + OC = BO + OD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AO = BO.

b)

$\begin{array}{c}{ADC}^{}=\widehat{BCD}\left(gt\right)\\ \Rightarrow \widehat{ODC}=\widehat{OCD}\end{array}$ 

⇒ ∆ OCD cân tại O

⇒ OC = OD

⇒ OA + AD = OB + BC

Mà AD = BC (tính chất hình thang cân)

⇒ OA = OB

Xét ∆ ADC và ∆ BCD :

AD = BC (chứng minh trên)

AC = BD (tính chất hình thang cân)

CD cạnh chung

Do đó: ∆ ADC = ∆ BCD (c.c.c)

$\Rightarrow {\hat{D}}_1={\hat{C}}_1$

⇒ ∆ EDC cân tại E

⇒ EC = ED nên E thuộc đường trung trực của CD

OC = OD nên O thuộc đường trung trực của CD

E≢ O. Vậy OE là đường trung trực của CD.

BD = AC (chứng minh trên)

⇒ EB + ED = EA + EC mà ED = EC

⇒ EB = EA nên E thuộc đường trung trực AB

E≢ O. Vậy OE là đường trung trực của AB.

Bài 3:

a: Xét ΔABC có \(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)

nên DE//BC

Xét tứ giác BDEC có DE//BC và \(\hat{DBC}=\hat{ECB}\) (ΔABC cân tại A)

nên BDEC là hình thang cân

b: BDEC là hình thang cân

=>BD=EC

DB=DE
=>ΔDBE cân tại D

=>\(\hat{DEB}=\hat{DBE}\)

mà \(\hat{DEB}=\hat{EBC}\) (hai góc so le trong, DE//BC)

nên \(\hat{DBE}=\hat{CBE}\)

=>BE là phân giác của góc ABC

=>E là chân đường phân giác kẻ từ B xuống AC

ED=EC

=>ΔEDC cân tại E

=>\(\hat{EDC}=\hat{ECD}\)

mà \(\hat{EDC}=\hat{BCD}\) (hai góc so le trong, DE//BC)

nên \(\hat{ECD}=\hat{BCD}\)

=>\(\hat{ACD}=\hat{BCD}\)

=>CD là phân giác của góc ACB

=>D là chân đường phân giác kẻ từ C xuống AB

Bài 2:

a: ΔCAD vuông tại C

=>\(\hat{CAD}+\hat{CDA}=90^0\)

=>\(\hat{CAD}=90^0-60^0=30^0\)

AC là phân giác của góc BAD

=>\(\hat{BAD}=2\cdot\hat{CAD}=60^0\)

Xét hình thang ABCD có \(\hat{BAD}=\hat{CDA}\left(=60^0\right)\)

nên ABCD là hình thang cân

b: BC//AD

=>\(\hat{BCA}=\hat{CAD}\) (hai góc so le trong)

mà \(\hat{CAD}=\hat{BAC}\) (AC là phân giác của góc BAD)

nên \(\hat{BCA}=\hat{BAC}\)

=>BC=BA

=>BC=BA=CD

Xét ΔCAD vuông tại C có cos CDA=\(\frac{CD}{DA}\)

=>\(\frac{CD}{DA}=cos60=\frac12\)

=>CD=0,5AD

=>BC=BA=CD=0,5AD

Chu vi hình thang ABCD là 20cm

=>AB+BC+CD+DA=20

=>0,5AD+0,5AD+0,5AD+AD=20

=>2,5AD=20

=>AD=8(cm)

Bài 1:

a: Xét ΔADC và ΔBCD có

AD=BC

DC chung

AC=BD

Do đó: ΔADC=ΔBCD

=>\(\hat{ACD}=\hat{BDC}\)

=>\(\hat{ODC}=\hat{OCD}\)

=>OD=OC

Ta có: OD+OB=BD

OC+OA=AC

mà BD=AC và OD=OC

nên OB=OA

b: Xét ΔEDC có AB//DC

nên \(\frac{EA}{AD}=\frac{EB}{BC}\)

mà AD=BC

nên EA=EB

=>E nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1),(2) suy ra EO là đường trung trực của AB

Ta có: EA+AD=ED

EB+BC=EC
mà EA=EB và AD=BC

nên ED=EC

=>E nằm trên đường trung trực của DC(3)

Ta có: OC=OD

=>O nằm trên đường trung trực của CD(4)

Từ (3),(4) suy ra EO là đường trung trực của CD

Bài 3:

a: Xét ΔABC có \(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)

nên DE//BC

Xét tứ giác BDEC có DE//BC và \(\hat{DBC}=\hat{ECB}\) (ΔABC cân tại A)

nên BDEC là hình thang cân

b: BDEC là hình thang cân

=>BD=EC

DB=DE
=>ΔDBE cân tại D

=>\(\hat{DEB}=\hat{DBE}\)

mà \(\hat{DEB}=\hat{EBC}\) (hai góc so le trong, DE//BC)

nên \(\hat{DBE}=\hat{CBE}\)

=>BE là phân giác của góc ABC

=>E là chân đường phân giác kẻ từ B xuống AC

ED=EC

=>ΔEDC cân tại E

=>\(\hat{EDC}=\hat{ECD}\)

mà \(\hat{EDC}=\hat{BCD}\) (hai góc so le trong, DE//BC)

nên \(\hat{ECD}=\hat{BCD}\)

=>\(\hat{ACD}=\hat{BCD}\)

=>CD là phân giác của góc ACB

=>D là chân đường phân giác kẻ từ C xuống AB

Bài 2:

a: ΔCAD vuông tại C

=>\(\hat{CAD}+\hat{CDA}=90^0\)

=>\(\hat{CAD}=90^0-60^0=30^0\)

AC là phân giác của góc BAD

=>\(\hat{BAD}=2\cdot\hat{CAD}=60^0\)

Xét hình thang ABCD có \(\hat{BAD}=\hat{CDA}\left(=60^0\right)\)

nên ABCD là hình thang cân

b: BC//AD

=>\(\hat{BCA}=\hat{CAD}\) (hai góc so le trong)

mà \(\hat{CAD}=\hat{BAC}\) (AC là phân giác của góc BAD)

nên \(\hat{BCA}=\hat{BAC}\)

=>BC=BA

=>BC=BA=CD

Xét ΔCAD vuông tại C có cos CDA=\(\frac{CD}{DA}\)

=>\(\frac{CD}{DA}=cos60=\frac12\)

=>CD=0,5AD

=>BC=BA=CD=0,5AD

Chu vi hình thang ABCD là 20cm

=>AB+BC+CD+DA=20

=>0,5AD+0,5AD+0,5AD+AD=20

=>2,5AD=20

=>AD=8(cm)

Bài 1:

a: Xét ΔADC và ΔBCD có

AD=BC

DC chung

AC=BD

Do đó: ΔADC=ΔBCD

=>\(\hat{ACD}=\hat{BDC}\)

=>\(\hat{ODC}=\hat{OCD}\)

=>OD=OC

Ta có: OD+OB=BD

OC+OA=AC

mà BD=AC và OD=OC

nên OB=OA

b: Xét ΔEDC có AB//DC

nên \(\frac{EA}{AD}=\frac{EB}{BC}\)

mà AD=BC

nên EA=EB

=>E nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1),(2) suy ra EO là đường trung trực của AB

Ta có: EA+AD=ED

EB+BC=EC
mà EA=EB và AD=BC

nên ED=EC

=>E nằm trên đường trung trực của DC(3)

Ta có: OC=OD

=>O nằm trên đường trung trực của CD(4)

Từ (3),(4) suy ra EO là đường trung trực của CD