Do tổng của n số gấp đôi tổng của các số còn lại nên tổng đó bằng 2/3 tổng các số từ 1 đến 2015.

Ta tính tổng đó: \(S=\frac{2}{3}\left(\frac{\left(2015+1\right).2015}{2}\right)=1354080.\)

Gọi n số thỏa mãn yêu cầu đề bài là \(1\le a_1< a_2< ...< a_n\le2015.\)

Ta thấy \(a_1\ge1;a_2\ge a_1+1=2;...;a_n\ge n.\)

Vậy thì để tồn tại nhiều số nhất thì ta chọn : \(a_1=1;a_2=2;...;a_{n-1}=n-1;a_n\)

Tính tổng (n -1) số đầu tiên: \(S_{n-1}=\frac{\left(n-1+1\right)\left(n-1\right)}{2}=\frac{n\left(n-1\right)}{2}\le1354080\)

Ta chọn n max thỏa mãn điều kiện bên trên. Vậy n = 1645.

Vậy n max là 1645 với dãy số:

\(\hept{\begin{cases}a_1=1;a_2=2;...;a_{1644}=1644\\a_{1645}=1354080-\frac{1645.1644}{2}=1890\end{cases}}\) 

Tương tự: \(a_n\le2015;a_{n-1}\le a_n-1=2014;...\)

Để chọn được n min thì \(\hept{\begin{cases}a_n=2015;a_{n-1}=2014;...;a_2=2015-n+2.\\a_1\end{cases}}\)

Tổng n - 1 số là : \(S_{n-1}=\frac{\left(2015+2015-n+2\right)\left(n-1\right)}{2}=\frac{\left(4032-n\right)\left(n-1\right)}{2}< 1354080\)

Vậy n min = 852. 

Khi đó \(\hept{\begin{cases}a_2=1165;a_3=1166;...;a_{852}=2015\\a_1=1354080-\frac{851.3180}{2}=990\end{cases}}\)

Vậy n max = 1645 và n min = 852.

Điểm mấu chốt là nhận ra \(\hept{\begin{cases}1\le a_1;2\le a_2;...\\2015\ge a_n;2014\ge a_{n-1};...\end{cases}}\)

Giải:

Tổng 702 số bằng 24 6753.

vì 246753 chia 2019 bằng 122 dư 435 n lớn nhất là 122.

2019=702+701+616 => n nhỏ nhất là 3.

Tổng nhỏ nhất có thể là 2019.

Ta có : 702 + 701 + 616 = 2019

=> N (min) = 3

Ta có : 1 + 2 + 3  + ... + 702 = 246753. Mà 246753 / 2019 = 122 ( dư 435 )

=> Loại bỏ 435 thì ta có tổng lớn nhất có thể.

=> N (max) = 702 - 1 = 701

Thanks!!

Giả sử  0≤a₁<a₂<...<a₁₀₁₀≤2015  là 1010 số tự nhiên được chọn .

Xét 1009 số : b_i=a₁₀₁₀−a_i(i=1,2,...,1009)

=>  0<b₁₀₀₉<b₁₀₀₈<...<b₁≤2015

Theo nguyên lý Dirichlet trong 2019 số  a_i,b_i không vượt quá 2015 luôn tồn tại 2 số bằng nhau, mà các số  a_i,b_i  không thể bằng nhau

=>  Tồn tại i , j  sao cho  :  a_j=b_i

=>  a_j=a₁₀₁₀−a_i=>a₁₀₁₀=a_i+a_j     ( đpcm ) .

Dirchle bạn mik nói là đi dép lê =))

TL: trùng hợp nhỉ mình cũng thế :)

#Học tốt

https://text.123doc.org/document/3146916-nguyen-ly-dirichlet.htm

Và link này nha bạn