1. 3S= 1.2.(3-0)+ 2.3.(4-1)+...+ n.(n+1).[(n+2)-(n-1)] 
=[1.2.3+ 2.3.4+...+ (n-1)n(n+1)+ n(n+1)(n+2)]- [0.1.2+ 1.2.3+...+(n-1)n(n+1)] 
=n(n+1)(n+2) 
=>S 

Biểu thức này dùng để tính tổng 1^2+..+n^2 rất tiện và thực tế cũng là ket quả của hệ quả trên. 
dùng cách thức tương tự có thể tính S=1.2.3+...+ n(n+1)(n+2) từ đó suy ra tổng 1^3+...+n^3 
Việc sử dụng trước kết quả tổng 1^2+...+n^2 theo tôi là ngược tiến trình.

2. S = 1.2.3 + 2.3.4 +..+ (n-1).n.(n+1) 

4S = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 +..+ (n-1)n(n+1).4 

ghi dọc cho dễ nhìn: 
(k-1)k(k+1).4 = (k-1)k(k+1)[(k+2) - (k-2)] = (k-1)k(k+1)(k+2) - (k-2)(k-1)k(k+1) 
ad cho k chạy từ 2 đến n ta có: 
1.2.3.4 = 1.2.3.4 
2.3.4.4 = 2.3.4.5 - 1.2.3.4 
3.4.5.4 = 3.4.5.6 - 2.3.4.5 
... 
(n-2)(n-1)n.4 = (n-2)(n-1)n(n+1) - (n-3)(n-2)(n-1)n 
(n-1)n(n+1).4 = (n-1)n(n+1)(n+2) - (n-2)(n-1)n(n+1) 
+ + cộng lại vế theo vế + + (chú ý cơ chế rút gọn) 
4S = (n-1)n(n+1)(n+2) 

3. 

a) \(S=1.2+2.3+3.4+...+n\left(n+1\right)\)

\(3S=1.2.3+2.3.\left(4-1\right)+3.4.\left(5-2\right)+...+n\left(n+1\right)\left[\left(n+2\right)-\left(n-1\right)\right]\)

\(=1.2.3+2.3.4-1.2.3+...+n\left(n+1\right)\left(n+2\right)-\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(\Rightarrow S=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)

b) \(S=1.2.3+2.3.4+...+n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(4S=1.2.3.4+2.3.4.\left(5-1\right)+...+n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left[\left(n+3\right)-\left(n-1\right)\right]\)

\(=1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+...+n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)-\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+2\right)\)

\(S=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4}\)

c) \(S=1.4+2.5+3.6+...+n\left(n+3\right)\)

\(=1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+...+n\left(n+1\right)+2n\)

\(=\left(1.2+2.3+3.4+...+n\left(n+1\right)\right)+2\left(1+2+3+...+n\right)\)

\(=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}+n\left(n+1\right)\)

\(=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+5\right)}{3}\)

3 . 6 = 3 . 4 + 2 . 3 rùi đấy bạn, bn xét từng tích rùi sẽ thấy thôi.

Sorano Yuuki !!! Mình hiểu rồi . Thì ra người ta tách sai =.= Cảm ơn nhé .

Đáng nhẽ là . Ta thấy 1.4=1.(2+2)

2.5 = 2.(2 + 3)
3.6 = 3.(2 + 4)
4.7 = 4.(2 + 5)
……

n(n + 3) = n(n + 1) + 2

3F= 1.2.(3-0)+ 2.3.(4-1)+...+ n.(n+1).[(n+2)-(n-1)] 
=[1.2.3+ 2.3.4+...+ (n-1)n(n+1)+ n(n+1)(n+2)]- [0.1.2+ 1.2.3+...+(n-1)n(n+1)] 
=n(n+1)(n+2) 
=>F 

H=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n(n+1)(n+2)

=> 4H=1.2.3(4-0)+2.3.4(5-1)+...+n(n+1)(n+2)((n+3)-(n-1))

=1.2.3.4-0.1.2.3+2.3.4.5-1.2.3.4+...+n(n+1)(n+2)(n+3)-(n-1).n(n+1)(n+2)

=n(n+1)(n+2)(n+3)

Nhân biểu thức S với số 5, ta có:

5.S = 1.2.3.4.5 + 2.3.4.5.5 + 3.4.5.6.5 + ... + 97.98.99.100.5

Biểu diễn số 5 ở mỗi số hạng vế phải bằng phép trừ thích hợp: 5 = 5 - 0 = 6 - 1 = 7 - 2 = ... = 101 - 96, ta có

5.S = 1.2.3.4.(5 - 0) + 2.3.4.5.(6 - 1) + 3.4.5.6.(7 - 2) + ...+ 97.98.99.100.(101 - 96)

     = (1.2.3.4.5 - 1.2.3.4.0) + (2.3.4.5.6 - 2.3.4.5.1) + (3.4.5.6.7 - 3.4.5.6.2) + ... + (97.98.99.100.101 - 97.98.99.100.96)

     = 1.2.3.4.5 - 0.1.2.3.4 + 2.3.4.5.6 - 1.2.3.4.5 + 3.4.5.6.7 - 2.3.4.5.6 + ... + 97.98.99.100.101 - 96.97.98.99.100

     = 97.98.99.100.101 - 0.1.2.3.4

     = 97.98.99.100.101

Suy ra  

  S = 97.98.99.100.101/5 = 97.98.99.20.101. Đến đây thì bạn dùng máy tính bấm ra S=1901009880