mk chẳng biết  nguyen hoang phi hung ak

ko biết

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ac. 
(1/a + 1/b + 1/c)² = 1/a² + 1/b² + 1/c² + 2(1/ab + 1/bc + 1/ac) = 4 
<=> 1/a² + 1/b² + 1/c² + 2(bcac + abac + abbc)/(a²b²c²) = 4 
<=> 1/a² + 1/b² + 1/c² + 2abc(a + b + c)/(a²b²c²) = 4 
<=> 1/a² + 1/b² + 1/c² + 2 = 4 
(vi` abc(a + b + c) = a² b² c²) 
<=> 1/a² + 1/b² + 1/c² = 2 !!

Áp dụng bđt Bunhiakovxki 

\(\left(1^2+1^2\right)\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge1\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Ta có: a + b = 1 ⇔ b = 1 – a

Thay vào bất đẳng thức a² + b² ≥ 1/2 , ta được:

a² + (1 – a)² ≥ 1/2 ⇔ a² + 1 – 2a + a² ≥ 1/2

⇔ 2a² – 2a + 1 ≥ 1/2 ⇔ 4a² – 4a + 2 ≥ 1

⇔ 4a² – 4a + 1 ≥ 0 ⇔ (2a – 1)² ≥ 0 (luôn đúng)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Ta có a+b=1

=> theo BĐT Cô si ta có 

a+b\(\ge\)\(2\sqrt{ab}\) dấu = khi a=b

=> \(1\ge2\sqrt{ab}\)

<=> \(\sqrt{ab}\le\frac{1}{2}\)    <=> \(ab\le\frac{1}{4}\)

khi đó a+b=1

=> (a+b)²=1

<=> \(a^2+b^2+2ab=1\)

<=>\(a^2+b^2=1-2ab\ge1-2\times\frac{1}{4}\)\(\ge1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)( đpcm)

dấu = khi a=b=1/2

Ta có a + b =1 \(\Leftrightarrow b=1-a\)

Thay vào bất đẳng thức \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\) , ta được:

\(a^2+\left(1-a\right)^2\ge\frac{1}{2}\Leftrightarrow a^2+1-2a+a^2̸̸\ge\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow2a^2-2a+1\ge\frac{1}{2}\Leftrightarrow4a^2-4a+2\ge1\)

\(\Leftrightarrow4a^2-4a+1\ge0\Leftrightarrow\left(2a-1\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Chúc bạn học tốt !!!

ta có: \(\frac{a^2+c^2}{b^2+a^2}\)do \(a^2=bc\)

=>\(\frac{a^2+c^2}{b^2+a^2}=\frac{b.c+c.c}{b.b+b.c}=\frac{c.\left(b+c\right)}{b.\left(b+c\right)}=\frac{c}{b}\)

vậy \(\frac{a^2+c^2}{b^2+a^2}=\frac{c}{b}\)

\(\text{Ta có : }\frac{a^2+c^2}{b^2+a^2}\text{ do }a^2=bc\)

\(\Rightarrow\frac{a^2+c^2}{b^2+a^2}=\frac{b.c+c.c}{b.b+b.c}=\frac{c.\left(b+c\right)}{b.\left(b+c\right)}=\frac{c}{b}\)

\(\text{Vậy }\frac{a^2+c^2}{b^2+a^2}=\frac{c}{b}\)

Với mọi a, b ta có : 

( a - b) ² >= 0 

<=> a² - 2ab + b² >= 0 

<=> a² + b² >=2ab 

<=> 2 ( a² + b² ) >= a² +2ab + b²

<=> 2 (a² + b² ) >= ( a + b )² mà a+b=1 nên 2 ( a² + b² ) >=1 

<=> a² + b² >= 1/2 

Dấu “ = " xảy ra khi và chỉ khi : a=b mà a+b=1 nên a=b=1/2

Với mọi a, b ta có : 

( a - b) ² >= 0 

<=> a² - 2ab + b² >= 0 

<=> a² + b² >=2ab 

<=> 2 ( a² + b² ) >= a² +2ab + b²

<=> 2 (a² + b² ) >= ( a + b )² mà a+b=1 nên 2 ( a² + b² ) >=1 

<=> a² + b² >= 1/2 

Dấu “ = " xảy ra khi và chỉ khi : a=b mà a+b=1 nên a=b=1/2

Ta có \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=\frac{1}{2}\) (1)

\(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)

\(ab\le\frac{1}{4}\Rightarrow2ab\le\frac{1}{2}\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều cần chứng minh