Áp dụng các tính chất:

     |-a| = |a|

     |a| + |b| > |a + b| (dấu bằng xảy ra khi a và b cùng dấu)

Ta có:

A = |x + 2012| + |x - 2010|

   = |x + 2012| + |2010 - x| > |x + 2012 + 2010 - x| = 4022

Vậy A nhỏ nhất bằng 4022 khi (x + 2012) và (2010 - x) cùng dấu. tức là:

+ Hoặc x + 2012 và 2010 - x cùng âm => x < -2012 và x > 2010 (không thỏa mãn)

+ Hoặc x + 2012 và 2010 - x cùng dương => -2012 < x < 2010 

ĐS: A nhỏ nhất bằng 4022  khi x nhận một trong các giá trị thuộc [-2012, 2010]

Áp dụng các tính chất:

|-a| = |a| |a| + |b| > |a + b| (dấu bằng xảy ra khi a và b cùng dấu)

Ta có: A = |x + 2012| + |x - 2010| = |x + 2012| + |2010 - x| > |x + 2012 + 2010 - x| = 4022

Vậy A nhỏ nhất bằng 4022 khi (x + 2012) và (2010 - x) cùng dấu. tức là:

+ Hoặc x + 2012 và 2010 - x cùng âm => x < -2012 và x > 2010 (không thỏa mãn)

+ Hoặc x + 2012 và 2010 - x cùng dương => -2012 < x < 2010

ĐS: A nhỏ nhất bằng 4022 khi x nhận một trong các giá trị thuộc [-2012, 2010]

\(l=2010+\left|x-2011\right|+\left|x-2012\right|+\left|x-2013\right|\)

\(=2010+\left|x-2011\right|+\left|2013-x\right|+\left|x-2012\right|\)

\(\ge2010+\left|x-2011+2013-x\right|+\left|x-2012\right|\)

\(\)\(=2010+2+\left|x-2012\right|\)

\(=2012+\left|x-2012\right|\ge2012\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\left\{{}\begin{matrix}x-2011\ge0\\x-2012=0\\x-2013\le0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge2011\\x=2012\\x\le2013\end{matrix}\right.\Rightarrow x=2012\)

Vậy \(min_l=2012\) khi \(x=2012\)

\(\frac{x+4}{2010}+\frac{x+3}{2011}=\frac{x+2}{2012}+\frac{x+1}{2013}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x+4}{2010}+1\right)+\left(\frac{x+3}{2011}+1\right)=\left(\frac{x+2}{2012}+1\right)+\left(\frac{x+1}{2013}+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+2014}{2010}+\frac{x+2014}{2011}=\frac{x+2014}{2012}+\frac{x+2014}{2013}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+2014}{2010}+\frac{x+2014}{2011}-\frac{x+2014}{2012}-\frac{x+2014}{2013}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2014\right)\left(\frac{1}{2010}+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}-\frac{1}{2013}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x+2014=0\)

\(\Leftrightarrow x=-2014\)

V...

Để M có giá trị nhỏ nhất thì

2012-2011:(2010-x)=1 

Suy ra : 2011 : (2010-x) =2011

                         2010 -x   = 1

                                  x=   2009