M là điểm chính giữa của cạnh AC

=>M là trung điểm của AC

N là điểm chính giữa của cạnh AB

=>N là trung điểm của AB

P là điểm chính giữa của cạnh BC

=>P là trung điểm của BC

Xét ΔAMN và ΔACB có

\(\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}\left(=\dfrac{1}{2}\right)\)

\(\widehat{A}\) chung

Do đó: ΔAMN đồng dạng với ΔACB

=>\(\dfrac{S_{AMN}}{S_{ACB}}=\left(\dfrac{AM}{AC}\right)^2=\dfrac{1}{4}\)

=>\(S_{AMN}=\dfrac{1}{4}\cdot120=30\left(cm^2\right)\)

Xét ΔBNP và ΔBAC có

\(\dfrac{BN}{BA}=\dfrac{BP}{BC}\left(=\dfrac{1}{2}\right)\)

\(\widehat{B}\) chung

Do đó: ΔBNP~ΔBAC

=>\(\dfrac{S_{BNP}}{S_{BAC}}=\left(\dfrac{BN}{BA}\right)^2=\dfrac{1}{4}\)

=>\(S_{BNP}=\dfrac{1}{4}\cdot120=30\left(cm^2\right)\)

Xét ΔCPM và ΔCBA có

\(\dfrac{CP}{CB}=\dfrac{CM}{CA}\left(=\dfrac{1}{2}\right)\)

\(\widehat{C}\) chung

Do đó: ΔCPM~ΔCBA

=>\(\dfrac{S_{CPM}}{S_{CBA}}=\left(\dfrac{CP}{CB}\right)^2=\dfrac{1}{4}\)

=>\(S_{CPM}=\dfrac{1}{4}\cdot120=30\left(cm^2\right)\)

Ta có: \(S_{ANM}+S_{BNP}+S_{NMP}+S_{MPC}=S_{ABC}\)

=>\(S_{MPN}+30+30+30=120\)

=>\(S_{MPN}=30\left(cm^2\right)\)

.

Đúng không?

.

Nối AP vì P là truing điểm của BC nên BP = PC .

Tương tự AN = NC; AM = MB

Hai tam giác ABP và APC có đáy bằng nhau và chung chiều cao nên diện tích của chúng bằng nhau và bằng : 240 : 2 = 120 ( cm² )

Hai tam giác PAN và PNC có đáy bằng nhau và chung chiều cao nên \(S_{PAN}=S_{PNC}=120:2=60\left(cm^2\right)\)

Tương tự ta cũng có \(S_{PAM}=S_{PBM}=60cm^2\)

Như vậy,ta có : \(S_{PNC}=S_{PBM}=60cm^2\)

Nối BN, lí luận tương tự được : \(S_{PNC}=S_{MAN}=60cm^2\)

Ta có : \(S_{MNP}=S_{ABC}-\left(S_{PNC}+S_{MAN}+S_{PMB}\right)=240-\left(60+60+60\right)=60cm^2\)

Vậy 4 tam giác có diện tích bằng nhau và bằng 60cm²