Gọi chân đường cao hạ từ A của tam giác ABC là H, K là giao của phân giác ngoài góc B và AH.

Đặt \(IH=x\left(x>0\right)\)

Theo hệ thức lượng: \(IB^2=IH.IK\Rightarrow IK=\frac{IB^2}{IH}=\frac{9}{x},KH=IK-IH=\frac{9}{x}-x\)

Theo định lí đường phân giác, ta có: \(\frac{IH}{IA}=\frac{KH}{KA}\)

Hay \(\frac{x}{2\sqrt{5}}=\frac{\frac{9}{x}-x}{\frac{9}{x}+2\sqrt{5}}\Leftrightarrow9+2\sqrt{5}x=\frac{18\sqrt{5}}{x}-2\sqrt{5}x\)

\(\Leftrightarrow4\sqrt{5}x^2+9x-18\sqrt{5}=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{3\sqrt{5}}{4}\\x=-\frac{6\sqrt{5}}{5}\left(l\right)\end{cases}}\)

Vậy \(AB=\sqrt{HA^2+HB^2}=\sqrt{\left(IH+IA\right)^2+IB^2-IH^2}\)

\(=\sqrt{\left(\frac{3\sqrt{5}}{4}+2\sqrt{5}\right)^2+3^2-\left(\frac{3\sqrt{5}}{4}\right)^2}=2\sqrt{11}.\)

Tự vẽ hình, mình không quen sử dụng cách vẽ hình ở đây.

Giải

Kẻ AH vuông góc với AB tại A( AH thuộc BI). Kẻ AK vuông góc với BI.

Tự chứng minh tam giác AIH cân tại A => AH=AI = 2 căn 5. 

                                                             => IK= KH= x( x>0)

Xét tam giác ABH vuông tại A=> AH²= HK x BH

                                              <=> AH²= x(2x+3). Mà AH= 2 căn 5

=>  x(2x+3)= 20=>x=2.5   

Có AB²= BH.BK= (3+x)(3+2x)=44 => AB= 2 căn 11

              k nha

Bài 1:

Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác ta có:

\(\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{BD}{2}=\frac{DC}{3}=\frac{BD+DC}{2+3}=\frac{BC}{5}\Rightarrow\frac{BD}{BC}=\frac{2}{5}\)

Kẻ \(DK//BE\left(K\in AC\right)\text{ ta có:}\)

\(\frac{AE}{EK}=\frac{AI}{ID}=2;\frac{EK}{EC}=\frac{BD}{BC}=\frac{2}{5}\)

Do đó:\(\frac{AE}{EK}\cdot\frac{EK}{EC}=\frac{AE}{EC}=\frac{2}{5}.2=\frac{4}{5}\)

b)\(\text{Ta có:}\)

\(\frac{AE}{EC}=\frac{4}{5}\Rightarrow\frac{AE}{4}=\frac{EC}{5}=\frac{AE+EC}{4+5}=\frac{AC}{9}=\frac{18}{9}=2\)

\(\Rightarrow AE=8cm,EC=10cm\)

bn ơi bài 1 ý a)  chỉ có thể tính tỉ lệ thôi ko tính đc ra số hẳn đâu

a: Xét ΔABM vuông tại M và ΔACN vuông tại N có

AB=AC

\(\widehat{BAM}\) chung

Do đó: ΔABM=ΔACN

Suy ra: AM=AN

b: Xét ΔAMN có AM=AN

nên ΔAMN cân tại A

a) Xét tam giác BNC vuông tại N và tam giác CMB vuông tại M:

BC chung.

\(\widehat{B}=\widehat{C}\) (Tam giác ABC cân tại A).

=> Tam giác BNC = Tam giác CMB (cạnh huyền - góc nhọn).

=> BN = CM (2 cạnh tương ứng).

Ta có: AB = AN + BN; AC = AM + CM.

Mà AB = AC (Tam giác ABC cân tại A); BN = CM (cmt).

=> AM = AN.

b) Xét tam giác AMN: AM = AN (cmt).

=> Tam giác AMN cân tại A.

c) Xét tam giác ABC: 

BM; CN là đường cao (BM vuông góc với AC; CN vuông góc với AB).

I là giao điểm của BM và CN (gt).

=> I là trực tâm.

=> AI là đường cao.

Mà AI là đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC cân tại A.

=> AI là đường phân giác góc A (Tính chất các đường trong tam giác cân).

a: Xét ΔCAI vuông tại A và ΔCHi vuông tại H có

CI chung

góc ACI=góc HCI

=>ΔCAI=ΔCHI

=>IA=IH

b: IA=IH

IH<IB

=>IA<IB

c: Xét ΔCAB có

K là giao điểm của hai tia phân giác góc ngoài tại đỉnh A,B

=>CK là phân giác của góc ACB

=>C,I,K thẳng hàng