Ta có: \(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b-c}=-\frac{b}{c-a}-\frac{c}{a-b}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b-c}=\frac{-b\left(a-b\right)-c\left(c-a\right)}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b-c}=\frac{-ab+b^2-c^2+ac}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}=\frac{-ab+b^2-c^2+ac}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)}\)

Tương tự ta có: \(\frac{b}{\left(c-a\right)^2}=\frac{-bc+c^2-a^2+ab}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)}\)

\(\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=\frac{-ca+a^2-b^2+bc}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)}\)

Cộng các đẳng thức trên ta được:

\(\frac{a}{\left(b-c\right)^2}\)\(+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}\)\(+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=\)\(\frac{-ab+b^2-c^2+ac-bc+c^2-a^2+ba-ca+a^2-b^2+bc}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

\(=\frac{0}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=0\)

Vậy \(\frac{a}{\left(b-c\right)^2}\)\(+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}\)\(+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=\)0 (đpcm)

Câu hỏi của Jungkookie - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

tên sai kìa,EKAWADA CONAN mà

Đặt \(P=\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\) ; \(Q=\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}\)

Ta có : \(P=\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}=\frac{ab\left(a-b\right)+bc\left(b-c\right)+ac\left(c-a\right)}{abc}\)

Xét tử số của P  :  \(ab\left(a-b\right)+bc\left(b-c\right)+ac\left(c-a\right)=ab\left[-\left(b-c\right)-\left(c-a\right)\right]+bc\left(b-c\right)+ac\left(c-a\right)\)

\(=-ab\left(b-c\right)-ab\left(c-a\right)+bc\left(b-c\right)+ac\left(c-a\right)\)

\(=b\left(b-c\right)\left(c-a\right)+a\left(c-a\right)\left(c-b\right)=\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(b-a\right)\)

\(\Rightarrow P=\frac{\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(b-a\right)}{abc}\)

Lại có : \(Q=\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}\). Đặt \(a-b=x\); \(b-c=y\); \(c-a=z\)

Suy ra được : \(\hept{\begin{cases}x-y=a-b-b+c=a+c-2b=-3b\\y-z=b-c-c+a=a+b-2c=-3c\\z-x=c-a+b-a=b+c-2a=-3a\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}b=-\frac{\left(x-y\right)}{3}\\c=-\frac{\left(y-z\right)}{3}\\a=-\frac{\left(z-x\right)}{3}\end{cases}}}\)

Ta có : \(Q=\frac{-\left(\frac{y-z}{3}\right)}{x}+\frac{-\left(\frac{z-x}{3}\right)}{y}+\frac{-\left(\frac{x-y}{3}\right)}{z}=-\frac{1}{3}.\left(\frac{y-z}{x}+\frac{z-x}{y}+\frac{x-y}{z}\right)\)

\(=-\frac{1}{3}\left(\frac{yz\left(y-z\right)+xz\left(z-x\right)+yx\left(x-y\right)}{xyz}\right)\)

Đến đây rút gọn tương tự với P được: \(Q=\frac{\left(x-z\right)\left(x-y\right)\left(z-y\right)}{3xyz}=\frac{\left(3a\right).\left(-3b\right).\left(3c\right)}{3\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\Rightarrow Q=\frac{-9abc}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\)

Vậy : \(PQ=\frac{\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(b-a\right)}{abc}.\frac{-9abc}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=9\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

\(\)

Trần Hữu Ngọc Minh bn tham khảo nha:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 

\(\frac{a}{a+b}=\frac{b}{b+c}=\frac{c}{c+a}=\frac{a+b+c}{"b+c"+"a+c"+"a+b"}=\frac{a+b+c}{2."a+b+c"}\)

Xét 2 trường hợp, ta có:

\(\cdot TH1:a+b+c=0\)thì \(\hept{\begin{cases}b+c=-a\\a+c=-b\\a+b=-c\end{cases}}\)

Có: \(\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}=\frac{-a}{a}+\frac{-b}{b}+\frac{-c}{c}=-1+-1+-1=-3\)

Không phụ thuộc vào các giá trị a,b,c 1:

\(\cdot TH2:a+b+c\ne0\)thì \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{2."a+b+c"}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2a=b+c\\2b=a+c\\2c=a+b\end{cases}}\)

Có: \(\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}=\frac{2a}{a}+\frac{2b}{b}+\frac{2c}{c}\)

Không phụ thuộc vào các giá trị a,b,c 2

Từ 1 và 2 \(\Rightarrow\)đpcm

a) Ta có : \(\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{c}+1=\frac{b+c}{a}+1=\frac{c+a}{b}+1\)

\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{a}=\frac{a+b+c}{b}=\frac{a+b+c}{c}\)

\(\Rightarrow P=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=8\)

b) Đề bài sai ^^

mấy bài này ns thiệt mk chả hỉu j...cg đơn giản thoy...vì mk ms học lp 6 mừ...hehe^^