Cho DABC nhọn nội tiếp (O). M là một điểm bất kì nằm trên cung nhỏ AC (M khác A và

  C, AM < CM). Gọi D, E lần lườt là hình chiếu của M trên AC và BC.

a/ Chứng minh: tứ giác CEDM nội tiếp.

b/ Gọi H là trực tâm của DABC. Gọi gđ của đường thẳng AH với (O) và đường thẳng ED

    lần lượt là F và K (F ≠ A). Chứng minh tứ giác MEFK là hình thang cân.

c/ DE cắt MH tại I. Chứng minh I là trung điểm của MH. 

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC

c) Gọi N là giao điểm của AH với đường tròn (O) (N khác A). Gọi D là điểm bất kì trên cung nhỏ NC của đường tròn tâm (O) (D khác N và C). Gọi E là điểm đối xứng với D qua AC, K là giao điểm của AC và HE. Chứng minh rằng ACH = ADK.

Cho ∆ABC nhọn nội tiếp (O;R), ba đường cao AD, BM, CN cắt nhau tại H. Gọi K là trung điểm AH.

a)     Chứng minh: tứ giác BNMC nội tiếp và K là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MNH

b)    Gọi L là điểm đối xứng của H qua BC Chứng minh AM .AC =AN . AB và điểm L thuộc (O)

c)     Gọi I là giao điểm của AH và MN. Chứng minh; MB là taia phân giác của góc NMD và IH . AD = AI .DH

d)    Chứng minh I là trực tâm của ∆BKC

e)     Vẽ ML vuông góc với tia AB tại L. MK vuông góc với tia AC tại K. Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC ( M khác B,C) để LK đạt nhỏ nhất.

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O (AB< AC).Các đường cao AD và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp

b) Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn tâm O (M khác B,C) và N là điểm đối xứng của M qua BC .chứng minh tứ giác AHCN nội tiếp

c) Gọi I là giao điểm của AM và CH; J là giao điểm của AC và HN. Chứng minh góc AJI = góc ANC

d) Chứng minh rằng OA vuông góc với IJ

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O.

Gọi M là một điểm trên cung nhỏ  B C ⏜  (M khác B; C và AM không đi qua O).

Giả sử P là một điểm thuộc đoạn thẳng AM sao cho đường tròn đường kính MP cắt cung nhỏ BC tại điểm N khác M.

1). Gọi D là điểm đối xứng với điểm M qua O. Chứng minh rằng ba điểm N, P, D thẳng hàng.

2). Đường tròn đường kính MP cắt MD tại điểm Q khác M. Chứng minh rằng P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AQN.