Bạn nên show toàn bộ lời giải để mọi người hiểu cách bạn làm hơn.

Lời giải:
$\Delta'=m^2-m+3>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$ nên pt luôn có 2 nghiệm pb với mọi $m\in\mathbb{R}$.

Khi đó, với $x_1,x_2$ là 2 nghiệm của pt thì:

$x_1+x_2=2m$

$x_1x_2=m-3$
Để $x_1,x_2\in (1;+\infty)$ thì:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2>2\\ (x_1-1)(x_2-1)>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x_1+x_2>2\\ x_1x_2-(x_1+x_2)+1>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2m>2\\ m-3-2m+1>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m>1\\ m< -2\end{matrix}\right.\) (vô lý)

Do đó không tồn tại $m$ để pt có 2 nghiệm pb thuộc khoảng đã cho.

x\(^2\)- (m-1)x + 4=0 ( a=1; b=-(m-1);c=4)

\(\Delta\)= (-(m-1))²-4x4x1

\(\Delta\)=m²-2m+1-4

\(\Delta\)=m² - 2m -3  

Để pt đã cho có n kép thì \(\Delta\)=0 

\(\Leftrightarrow\)m²-2m -3 =0 ( đk m \(\ne\)0 ) (a = 1 ;b =-2 ; c= -3 )

Ta có ; a- b + c = 1 -(-2) +( -3)=0

nên pt đã cho có  2 nghiêm m₁= -1 ; m₂= \(\frac{-c}{a}\)= -\(\frac{-3}{1}\)=3

vậy pt đã cho có 2 n m₁ =-1 ; m₂= 3

bn ơi nhớ đối chiếu đk  nhé cái chỗ tìm m đối chiếu m xem có tmđk m\(\ne\)0 ko nhé 

chỗ trên mik chỉ tìm m  giúp bn thôi còn tìm nghiệm kép đó thì bn thay m vào pt r tính ra x nhé

f (1) = (1-1). f (1) = (1+4).f (1+8) 

\(\Rightarrow\)0 = 5 . f (9)   Vậy 9 là 1 nghiệm của đa thức

f (-4) = ( -4-1 ) . f (-4) = (-4+4) . f (-4+8)

\(\Rightarrow\)-5 . f (-4) = 0 vậy -4 là một nghiệm của đa thức 

Do đó f (x) có 2 nghiệm là 9 và -4.

Còn nhập TTĐ thì mình ko biết

f (1) = (1-1). f (1) = (1+4).f (1+8) 

⇒0 = 5 . f (9)   Vậy 9 là 1 nghiệm của đa thức

f (-4) = ( -4-1 ) . f (-4) = (-4+4) . f (-4+8)

⇒-5 . f (-4) = 0 vậy -4 là một nghiệm của đa thức 

Do đó f (x) có 2 nghiệm là 9 và -4.

Còn nhập TTĐ thì mình ko biết

1. Áp dụng quy tắc L'Hopital

\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{f\left(0\right)-f\left(x\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}}{-f'\left(0\right)}=-\dfrac{1}{6}\)

2.

\(g'\left(x\right)=2x.f'\left(\sqrt{x^2+4}\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\f'\left(\sqrt{x^2+4}\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\\sqrt{x^2+4}=1\\\sqrt{x^2+4}=-2\end{matrix}\right.\) 

2 pt cuối đều vô nghiệm nên \(g'\left(x\right)=0\) có đúng 1 nghiệm

\(\Delta=\left(2m-2\right)^2-4\cdot2\cdot\left(m+2-\sqrt{2}\right)\)

\(=4m^2-8m+4-8m-8+8\sqrt{2}\)

\(=4m^2-16m+8\sqrt{2}-4\)

Để phương trình có nghiệm kép thì \(4m^2-16m+8\sqrt{2}-4=0\)

=>\(m^2-4m+2\sqrt{2}-1=0\)

=>\(\Delta=\left(-4\right)^2-4\left(2\sqrt{2}-1\right)=16-8\sqrt{2}+4=20-8\sqrt{2}>0\)

=>Phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left\{{}\begin{matrix}m=\dfrac{4-\sqrt{20-8\sqrt{2}}}{2}=2-\sqrt{5-2\sqrt{2}}\\m=2+\sqrt{5-2\sqrt{2}}\end{matrix}\right.\)

\(x\left(x-1\right)\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=0\)hoặc \(x-1=0\)hoặc \(x-2=0\)

\(\Leftrightarrow x=0\)hoặc \(x=1\)hoặc \(x=2\)

Vậy \(x\in\left\{0;1;2\right\}\)

Câu cuối bạn hỏi ko biết

\(2)mx^2-2\left(m-1\right)x+m-1=0\)

Để pt có nghiệm kép \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\\Delta=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4m\left(m-1\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow4\left(m^2-2m+1\right)-4m^2+4m=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-4m^2+4m=0\)

\(\Leftrightarrow-4m+4=0\)

\(\Leftrightarrow m=1\)

Vậy để pt trên có nghiệm kép thì \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m=1\end{matrix}\right.\)